Las funciones meromorfas localmente acotadas son raíces de un polinomio con coeficientes en funciones holomorfas.

Question

Sea X un germen de una variedad compleja, y R un anillo de gérmenes de funciones meromorfas localmente acotadas sobre X. Demuestre que cada elemento de R es una raíz de un polinomio mónico sobre ${O}_X$ .

Supongo que para un germen irreducible la función meromorfa acotada localmente sólo puede ser holomorfa. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo, creo que la definición, variedad normal debe ser utilizado para resolver este problema.

Answer 1

Una función meromorfa localmente acotada en una variedad no normal no necesita ser holomorfa. Por ejemplo, consideremos la función $\frac{z}{w}$ . Está acotado localmente en la cúspide $z^2=w^3$ ya que en esta variedad $\left|\frac{z}{w}\right| = \frac{|w|^{3/2}}{|w|} = \sqrt{|w|}$ . Pero esta función no es holomorfa. Por otro lado si normalizamos la cúspide por $t \mapsto (t^3,t^2)$ entonces el pullback a través de la normalización es (o se extiende a ser) holomorfo: $\frac{z}{w} = \frac{t^3}{t^2} = t$ .