Conjunto lineal irreductible de cuadráticas sobre $\Bbb F_p$

Question

Dado $a,b\in\Bbb F_p$ , denotan $$S(a,b)=\big\{(a+\beta)x^2+(b-\beta)x+1\in\Bbb F_p[x]:\beta\in\Bbb F_p\big\}.$$

Denote $$S(a,b)_\mathrm{red}=\big\{g(x)\in S(a,b):g(x)\text{ is reducible}\big\}.$$

¿Cuál es un buen límite superior e inferior para $$E_{\max}=\max_{\substack{a,b\in\Bbb F_p }}\big|S(a,b)_\mathrm{red}\big|?$$

¿Cuál es un buen límite superior e inferior para $$E_{\min}=\min_{\substack{a,b\in\Bbb F_p }}\big|S(a,b)_\mathrm{red}\big|?$$

¿Cuál es un buen límite superior e inferior para $$E_\mathrm{avg}=\frac{\displaystyle\sum_{\substack{a,b\in\Bbb F_p}} \big| S(a,b)_\mathrm{red} \big|}{p}?$$

¿Existen estimaciones precisas?

Puede $E_\mathrm{avg}$ o $E_{\max}$ sea $O(\log p)$ o ambos sólo $\Theta(\frac{p}2)$ ?

Puede $E_{\min}=0$ ¿es posible? Si es así, ¿con qué probabilidad?

Answer 1

Esto es lo que pasa. Recordando algunas observaciones de los comentarios, y luego añadiendo más pasos:

1. El conjunto $S(a,b)$ sólo depende del valor de $a+b$ porque $$S(a,b)=\{f(x)=a_2x^2+a_1x+1\in\Bbb{F}_p[x]\mid f(1)=1+a+b\}.$$
2. Ignorar el caso $a_2=0$ (es decir, cuando $f(x)$ es lineal), el polinomio $f(x)$ es irreducible si y sólo si cuando su polinomio recíproco $$ \tilde{f}(x):=x^2f(\frac1x)=x^2+a_1x+a_2 $$ es irreducible.
3. El polinomio $\tilde{f}(x)$ es irreducible, si y sólo si el polinomio $$g(x):=f(x+1)=x^2+(a_1+2)x+(a_1+a_2+1)$$ es irreducible.
4. Por tanto, existe una biyección desde el conjunto de polinomios cuadráticos irreducibles en $S(a,b)$ al conjunto de polinomios cuadráticos irreducibles mónicos $$g(x)=x^2+Ax+B$$ con $B=a+b+1$ .
5. En total hay exactamente $(p^2-p)/2$ polinomios cuadráticos irreducibles mónicos en $\Bbb{F}_p[x]$ . Son exactamente los polinomios mínimos de los elementos del conjunto $\Bbb{F}_{p^2}\setminus\Bbb{F}_p$ . Hay $p^2-p$ tales elementos, sino los pares conjugados, $\alpha$ y $\alpha^p$ comparten el mismo polinomio mínimo.
6. El término constante de dicho polinomio mínimo $$m_\alpha(x)=(x-\alpha)(x-\alpha^p)=x^2-[\alpha+\alpha^p]x+\alpha^{p+1}$$ es conocido como el norma de $\alpha$ , $N(\alpha)=\alpha^{p+1}\in\Bbb{F}_p$ .
7. El mapa normativo $N:\Bbb{F}_{p^2}^*\to\Bbb{F}_p^*$ es un homomorfismo suryente de grupos cíclicos. Un cálculo de los órdenes de estos grupos nos dice inmediatamente que $\operatorname{Ker}N$ es un subgrupo de tamaño $p+1$ . Por lo tanto, todo lo que no sea cero $B\in\Bbb{F}_p$ se produce como la norma de exactamente $p+1$ elementos de $\Bbb{F}_{p^2}$ .
8. Para todos $c\in\Bbb{F}_p$ tenemos $N(c)=c^2$ . Así que tal $B\in\Bbb{F}_p^*$ se produce como la norma de un elemento de $\Bbb{F}_p$ si y sólo si es un cuadrado en $\Bbb{F}_p^*$ . Cuando este es el caso, tenemos $B=N(c)$ para exactamente dos elementos $c\in\Bbb{F}_p$ , a saber $c=\pm\sqrt{B}$ .
9. El número de cuadráticas irreducibles $g(x)$ del paso 4 es, por tanto, igual a $(p+1)/2$ cuando $B=a+b+1$ es un no cuadrado, y $(p-1)/2$ cuando $B$ es un cuadrado no nulo en $\Bbb{F}_p$ .
10. Por tanto, el número de polinomios cuadráticos irreducibles en el conjunto $S(a,b)$ es $$ |S(a,b)|_{irred}=\begin{cases} 0&,\ \text{if $a+b+1=0$,}\\ \dfrac{p+1}2&,\ \text{if $a+b+1$ is a non-zero square of $\Bbb{F}_p$},\\ \dfrac{p-1}2&,\ \text{if $a+b+1$ is a non-square of $\Bbb{F}_p$}. \end{cases}. $$

Estoy seguro de que puedes hacer el resto.