Definición de puntos límite, equivalencia y su negación

Question

La definición (de mi libro) que tomamos es:

$x$ es un punto límite de $(x_n)$ si $\exists$ una subsecuencia $(x_{n_k})$ de $(x_n)$ para que $\lim_{k \to \infty} x_{n_k} = x $

Ahora bien, así entiendo yo las equivalencias a esta definición y su negación:

${\bf I.}$ $x$ es el punto límite de $(x_n)$ si $\forall \epsilon >0$ $\exists\ N > 0$ para que $k > N$ implica $|x_{n_k} - x | < \epsilon $ .

${\bf II}.$ Si ponemos $X = \{ x_n : n \in \mathbb{N} \}$ si para cualquier $\epsilon > 0$ tenemos infinitamente muchos de los $x_n's$ acostado en $B_{\epsilon}(x)$

Ahora bien, esto es equivalente a la definición de un punto límite.

La negación sería: $x$ es ${\bf not}$ un punto límite si $\exists\ \epsilon >0$ tal que para todo $N > 0$ se puede encontrar $k > N$ para que $|x_{n_k} - x| \geq \epsilon $

¿Es correcto lo que he entendido?

Answer 1

${\bf II}.$ parece correcto pero ${\bf I}.$ debe modificarse como sigue:

${\bf I'}. x $ es un punto límite de $(x_n)$ si existe una secuencia $(n_k)_k$ en $\mathbb{N}$ tal que $n_k \to \infty$ y para cada $\epsilon>0,$ existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $k>N$ implica $|x_{n_k}-x|<\epsilon.$

La negación también tendría que ajustarse de la siguiente manera:

$x$ no es un punto límite de $(x_n$ ) si para cada secuencia $(n_k)_k$ en $\mathbb{N}$ con $n_k \to \infty,$ existe $\epsilon >0$ tal que para cada $N \in \mathbb{N},$ existe $k>N$ con $|x_{n_k}-x|\geq \epsilon.$