cuando el producto de los números irracionales = número racional?

Question

deja $a$ y $b$ ser números irracionales. ¿Cuándo tenemos $ a \cdot b $ = número racional?

por ejemplo $ \sqrt {2} \cdot \sqrt {2}=2$ . Me preguntaba si hay algunas condiciones para que el producto sea un número racional.

Answer 1

No estoy seguro de lo que esperas como respuesta, pero: ¡exactamente cuando uno es un múltiplo racional del recíproco del otro!

Ex: $\sqrt{2}\times {3\over \sqrt{2}}$ es racional, pero $\sqrt{2}\times{\pi\over\sqrt{2}}$ es irracional.

Puede que esto te resulte insatisfactorio; por desgracia, no estoy seguro de que exista una caracterización satisfactoria.

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Una condición necesaria algo abstracta se puede enunciar utilizando el lenguaje de los campos: $\mathbb{Q}(x)=\mathbb{Q}(y)$ . Sin embargo, esto no es suficiente, ya que, por ejemplo $\pi^2$ no es racional.

Answer 2

Para cada número irracional, a existe un número contablemente infinito de números irracionales, b , de tal manera que a b es racional. Estos números son exactamente los números racionales excepto el cero dividido por a . Llama a este conjunto B .

PRUEBA SUFICIENTE

Dejemos que q sea un número racional distinto de cero. Entonces b = q / a es irracional. Sin embargo, a * b es igual a a * q / a que es sólo q un número racional. Por lo tanto, cada número en B es un irracional que produce un número racional cuando se multiplica por a .

PRUEBA -- NECESARIA

Considera un número irracional, b que, cuando se multiplica por a , produce un número racional. Llama al resultado q . Entonces b = q / a . Pero q es racional por lo que q / a está en el conjunto B .

Q.E.D.

Answer 3

¿Qué te parece esto?

$ab$ es racional si cualquiera de $a,b$ es cero o la relación $a+b : \frac1a+\frac1b$ es racional, para cualquier real $a,b$ .

¡No hay productos a la vista! Heheh...

Answer 4

Un poco demasiado grande para un comentario..

Para el subconjunto de irracionales que son $n$ -raíces de los racionales:

Para (todos) los primos $p_i$ Considera que los números están en la forma $$q = \prod_{\forall i} {p_i}^{q_i}$$ Cualquier raíz de un número racional puede representarse de forma única como $q_i\in\mathbb{Q}$ y entonces si la suma de $q_i$ para dos números $\in \mathbb{Z}$ para todos $i$ entonces su producto debe ser un número racional.

$q_i$ siendo un entero negativo significaría que el denominador tiene una potencia positiva de primo $p_i$ en su representación y positivo significaría lo mismo para el numerador.

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Sin embargo, hay muchos irracionales, excepto las raíces enteras de los racionales, así que esto sólo expresa un método para un subconjunto muy pequeño de números irracionales.

Answer 5

No puede haber una condición en uno de los números solo, como para cualquier real irracional $a$ Hay al menos una $b$ que encaja (sólo toma $b=\frac1a$ ).

Ahora la condición necesaria y suficiente para un par de números es... $a\cdot b\in\mathbb Q$ .

Se puede debilitar para obtener una condición necesaria pero no suficiente como $a^2\cdot b^2\in\mathbb Q$ .

Se puede reforzar para obtener una condición suficiente pero no necesaria como $a\cdot b\in\mathbb N$ .

Esto no sirve de mucho.

Una condición vagamente interesante es que $a$ y $b$ debe ser tanto trascendental como algebraico.