¿Cómo hacer fracciones continuas de cualquier número?

Question

Recientemente encontré una representación de fracción continua de $\pi$ y me pregunté ¿cómo puedo hacer una fracción continua que converja en un número?

El PRINCIPAL la pregunta es: ¿cómo se hace una fracción continua para cualquier número y se puede representar cada número como fracción continua?

Algunos ESPECÍFICO preguntas:

1. ¿Cómo se genera una fracción continua para un número x cualquiera? ¿Existe un algoritmo y cuál es?
2. Dé un ejemplo del algoritmo en algún número irracional como $\sqrt[3]{15}$ y en algún número racional como $0.8713241$ .
3. ¿Se puede representar cada número como una fracción continua?
4. ¿Existen fracciones continuas para los números complejos?

No vote en contra sin razón. Acabo de aprender sobre las fracciones continuas y realmente no sé nada sobre ellas.

Answer 1

Sea el número cuya fracción continua se quiere encontrar $x$ .

Dejemos que $[x] = a$

Sea la parte fraccionaria de $x$ es decir $frac(x) = b$

Así que, $x = a + b$

Sea c = $\frac{1}{b}$

$\rightarrow$ $x = a + \frac{1}{c}$

Ahora, dejemos que $[c] = p$

Sea la parte fraccionaria de $c$ es decir $frac(b) = q$

Por lo tanto, $c = p + q$

Sea r = $\frac{1}{q}$

$\rightarrow$ $c = p + \frac{1}{r}$

$x = a + \frac{1}{c}$

$\rightarrow$ $x = a + \frac{1}{ p + \frac{1}{r}}$

Repita el proceso para $r$ .

Sigue repitiendo este proceso hasta que llegues a un número racional.

Pero si empiezas con un número irracional, nunca llegarás a un número racional.Por eso los números irracionales se representan utilizando un bucle infinito de fracciones continuas.

Para los decimales complicados, se puede escribir un programa de ordenador utilizando la lógica anterior.

Así que, para responder a tu pregunta, sí, todo número puede representarse como una fracción continua.