Demostración de que la categoría de homotopía de un establo $\infty$ -la categoría está triangulada

Question

He estado buscando varias estrategias generales para demostrar que alguna categoría es triangulada, y Lurie consigue demostrar que una enorme clase de ejemplos interesantes de categorías que conocemos son trianguladas en su libro Álgebra superior (antes DAG I-IV y VI).(EDIT: aquí hay un enlace al libro ) El problema es que soy muy nuevo en esta lengua, y por eso lo que él llama $\infty$ -nociones categóricas que son básicas y fácilmente motivadas' las veo como extrañas y desconocidas.

La parte que realmente me interesa es la demostración del axioma octaédrico en la página 24 de Álgebra superior . Construye un diagrama utilizando una proposición de Teoría del Topo Superior que parece completamente fuera de contexto (¡para mí!). La proposición dice:

``Supongamos que nos dan un diagrama de $\infty$ -categorías $\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}' \leftarrow \mathcal{D}:p$ , donde $p$ es un fibrado categórico. Sea $\mathcal{C}^0$ sea una subcategoría completa de $\mathcal{C}$ . Dejemos que $\mathcal{K} \subset Map_{\mathcal{D}'}(\mathcal{C}, \mathcal{D})$ sea la subcategoría completa abarcada por esos funtores $F: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$ que son $p$ -Las extensiones del Kan izquierdo de $F\vert\mathcal{C}^0$ . Dejemos que $\mathcal{K}'\subset \text{Map}_{\mathcal{D}'}(\mathcal{C}^0, \mathcal{D})$ sea la subcategoría completa abarcada por esos funtores $F_0: \mathcal{C}^0 \rightarrow \mathcal{D}$ con la propiedad de que, para cada objeto $C \in \mathcal{C}$ el diagrama inducido $\mathcal{C}^0_{/C} \rightarrow \mathcal{D}$ tiene un $p$ -colímite. Entonces el functor de restricción $\mathcal{K} \rightarrow \mathcal{K}'$ es una fibración trivial de conjuntos simpliciales".

Y Lurie dice que, para demostrar (TR4), utilizamos esta ``repetición para construir un mapa desde el nervio del conjunto parcialmente ordenado apropiado hacia $\mathcal{C}$ .'' (Véase el libro de Lurie disponible para su descarga en su página web).

Ahora, obviamente esto debe ser algún tipo de uso estándar de la proposición, pero me gustaría mucho entender esta prueba sin leer todo Teoría del Topo Superior Así que tenemos mi pregunta:

1. ¿Existe alguna referencia más fácil para esta prueba? o
2. Si no requiere demasiado esfuerzo, ¿alguien estaría dispuesto a explicar cómo se aplica la proposición citada en este caso? o
3. ¿Realmente tengo que leer Teoría del Topo Superior ¿hasta el capítulo 4?

Answer 1

Muy bien, aquí hay una prueba y una construcción: Supongamos que nos dan un $2$ -simplemente $X\to Y\to Z$ en $\mathcal{C}$ . Tenemos un lema:

Cada $2$ -simplemente en $\Delta^2\to \mathcal{C}$ puede ser (derecho Kan-)extendido por ceros a través del mapa $\Delta^2\hookrightarrow \Delta^1\vee \Delta^3$ que da diagramas de la forma:

$$0\leftarrow X\to Y\to Z\to 0.$$ Es un cálculo fácil mostrar que las extensiones de Kan derecho relativas a la inclusión de una subcategoría completa y fiel que también es una tamiz son extensiones de cero.

Dejemos que $\mathfrak{A}\subseteq Fun(\Delta^1\vee \Delta^3,\mathcal{C})$ sea la subcategoría completa abarcada por los objetos cuyos vértices "primero y último" son cero. Entonces el mapa inducido $\mathfrak{A}\to Fun(\Delta^2, \mathcal{C})$ es una fibración trivial por el teorema.

Entonces considera la inclusión $$\Delta^1\vee \Delta^3 \cong \Delta^1\times \{0\}\coprod_{\{0\}\times\{0\}} \{0\}\times \Delta^3\hookrightarrow \Delta^1\times \Delta^3$$

Dejemos que $\mathfrak{B}$ sea la subcategoría completa de $Fun(\Delta^1\times \Delta^3,\mathcal{C})$ abarcados por los diagramas que se parecen a la fila superior del diagrama de Lurie. Ahora podemos hacer otra extensión del Kan derecho por cero.

La cosa se complica un poco, así que consideraremos los diagramas como subcomplejos de $\Delta^2\times \Delta^4$ . Podemos identificar nuestro $\Delta^1\times \Delta^3$ con el subcomplejo abarcado por el conjunto de vértices $P_0:=\{(x,y): x\in \{0,1\}, y\in \{0,1,2\}\}$ . Dejemos que $P_1=P_0\cup \{(2,1),(1,3)\}$ . Dejemos que $H$ sea el subcomplejo de $\Delta^2\times \Delta^4$ abarcados por $P_1$ . Sea $\Delta^1\times \Delta^3\hookrightarrow H$ . Tomando una extensión Kan derecha, hemos extendido los diagramas por cero, y luego tomando la extensión Kan izquierda a lo largo de la inclusión $H\hookrightarrow J$ , donde $J$ es el subcomplejo de $\Delta^2\times \Delta^4$ abarcada por el conjunto de vértices $(\Delta^2\times \Delta^4)_0 -\{(2,0), (0,4)\}$ obtenemos un diagrama como el de Lurie, y además con la propiedad de que el mapa canónico de la categoría de tales diagramas inducido por la proyección $Fun(\Delta^2\times \Delta^4,\mathcal{C})\to Fun(\{0\}\times \Delta^2,\mathcal{C})$ es una fibración trivial.

Como cada etapa se construye a partir de cokernels, todo lo que afirmamos que existe, existe (la comprobación es cuestión de mirar la definición.) Finalmente, para deducir que cada cuadrado es de hecho un pushout, aplicamos la ley de pegado para pushouts en un $\infty$ -categoría un montón de veces.. Con esa información en la mano, hemos terminado, por la declaración de Lurie.

Answer 2

No he pensado en los detalles, pero creo que la idea aproximada es sencilla, y puede expresarse claramente en términos de representaciones de carcaj como sigue (como aprendí de una vieja conferencia de Kontsevich). En el axioma del octaedro nos encontramos con la situación básica de un par de morfismos componibles. Podemos pensar en esto como un functor del $A_3$ quiver, que es un nombre elegante para el poset formado por dos flechas componibles (y tres vértices). Esto es lo que llamaría una representación del carcaj en su categoría. Así que para entender qué estructura deberías esperar de tener una representación así, primero piensa en el caso de que la categoría objetivo sea, digamos, espacios vectoriales. Entonces no es difícil ver que hay 6 objetos indecomponibles en la categoría de representaciones del carcaj (corresponden naturalmente a matrices estrictamente triangulares superiores de cuatro por cuatro..). Ahora bien, creo que la idea de la prueba del axioma del octaedro es que siempre que veas un functor del $A_3$ a su categoría se puede extender a un functor exacto de la categoría estable el $A_3$ El carcaj genera (que es representaciones de su opuesto en los espectros) - aquí es donde usted está usando la proposición anterior de HTT. Eso significa que ves en tu categoría no sólo el diagrama original (composición de flechas) sino todos los diagramas que implican a los seis indecomponibles, y por tanto el axioma del octaedro. (¡Perdón por la vaguedad!)

Answer 3

No he repasado los detalles, pero creo que en esencia ocurre lo siguiente:

En la teoría clásica de categorías, tenemos para un functor $\mathcal{C}^0 \to \mathcal{D}$ una extensión Kan izquierda esencialmente única a un functor $\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ si $\mathcal{D}$ tiene un número suficiente de colímites y $\mathcal{C}^0\subset \mathcal{C}$ . La proposición HTT 4.3.2.15 no es más que el análogo de esto en lenguaje de categoría infinita en un entorno relativo: digamos que $\mathcal{D} = \mathcal{D}'$ y tiene suficientes colimits, entonces $\mathcal{K}' = Map(\mathcal{C}^0, \mathcal{D})$ y $\mathcal{K}$ es el conjunto simplicial de extensiones Kan de izquierda de este. 'Fibración trivial' corresponde a 'esencialmente única'.

En la prueba del axioma del octaedro, se quiere construir un diagrama, donde hay muchos empujones. La forma más elegante de hacerlo, es probablemente construirlo inductivamente como extensiones de Kan izquierdo.

Answer 4

Este punto de vista es seguramente algo poco elegante y oxidado, pero creo que una vez pulido sólo explota definiciones básicas: tómenlo como una motivación más que como una prueba si quieren.

Permítanme empezar por el principio recordando que el axioma octaédrico (TR4 para abreviar) dice que dados tres triángulos distinguidos \begin{gather*} X\xrightarrow{f}Y\to Y/X\to X[1] \\ Y\xrightarrow{g}Z\to Z/Y\to Y[1]\\ X\xrightarrow{gf}Z\to Z/X\to X[1] \end{gather*} Puedo organizarlos en la siguiente "trenza":

dado esto, hay una forma (no única) de completarlo con las flechas $s,t$ indicado. Esto es habitual en cualquier libro sobre categorías trianguladas.

Ahora, en el $\infty$ -En el entorno categórico, los "triángulos distinguidos" se sustituyen por "secuencias de fibras" como $$ \begin{array}{ccc} A &\to& B &\to& 0 \\ \downarrow && \downarrow && \downarrow\\ 0 &\to& C &\to& A[1] \end{array} $$

Así, una vez traducido el diagrama de trenzas en un $\infty$ -categoría $\bf C$ nos encontramos en la siguiente situación:

(originalmente había colores para ayudar a identificar diferentes secuencias de fibras: ¡desgraciadamente codecogs no lo soporta!). El axioma TR4 dice que podemos encontrar flechas $Y/X\to Z/X\to Z/Y$ tal que el triángulo $Y/X\to Z/X\to Z/Y\to (Y/X)[1]$ se distingue. Esto significa, a fin de cuentas, que no sólo la flecha compuesta $Z/Y\to Y[1]\to (Y/X)[1]$ puede incrustarse en un triángulo, sino también que esta incrustación puede hacerse "de forma coherente".

Ahora, la prueba.

El axioma de terminación (que supongo que se cumple) implica que el diagrama

puede completarse con una flecha $Y/X \xrightarrow{\phi} Z/X$ completando el cuadrado

Consideremos ahora los proyectos $V={\rm hocolim}\Big( Y/X \leftarrow{} Y \xrightarrow{g} Z \Big)$ y $W={\rm hocolim}\Big( 0\xleftarrow{} Y/X \xrightarrow{\phi}Z/X \Big)$ ; organícelos en el diagrama

2-de-3 implica ahora que el rectángulo exterior es un pushout, por lo tanto $W\cong Z/Y$ . Queda por demostrar que $V\cong Z/X$ esto se deduce de la propiedad 2-de-3 aplicada al último diagrama: