Si la serie $\sum n a_n$ es convergente, entonces $\sum a_n$ converge a cero?

Question

Si la serie $\sum n a_n$ es convergente, entonces qué podemos decir de $\sum a_n$ ? Creo que $\sum a_n$ debe converger a cero. Aquí está mi prueba.

$\sum n a_n$ es convergente

$\Rightarrow$ para $\epsilon \gt 0$ $ \exists$ $ N \in \mathbb N$ tal que

$l-\epsilon \lt n a_n \lt l+\epsilon$ para todos $n \geq N $

$\Rightarrow \frac{l-\epsilon}{n} \lt a_n\lt\frac{l+\epsilon}{n} $ para todos $n \geq N$

Ahora, $\epsilon$ y $l$ son fijos. Entonces, por el teorema de Sandwich para las secuencias, podemos concluir que $a_n$ converge a cero.

¿Estoy en lo cierto? Gracias.

Puede haber una pregunta similar a esta. Pero estoy preguntando si esta prueba es correcta o no. Por lo tanto, esto no es un duplicado.

Answer 1

Consideremos

$$a_n=\frac1{n^3}\implies \sum n a_n =\sum \frac1{n^2} $$

que converge pero

$$\sum \frac1{n^3}$$

no converge a cero.