Cómo encontrar el operador adjunto de Hilbert de $T(f)(t)=\int_{0}^tf(s)\ ds$ ?

Question

Posible duplicado:
Encontrar el adjunto de un operador

Consideremos el espacio vectorial $C[0, 1]$ con el producto interno, \begin{align*} \langle f, g\rangle=\int_{0}^1f(t)g(t)\ dt. \end{align*} Dejemos que $T:C[0, 1]\rightarrow C[0, 1]$ el operador lineal acotado dado por,

\begin{align*} T(f)(t)=\int_{0}^tf(s)\ ds. \end{align*} ¿Cómo puedo encontrar el operador adjunto de Hilbert $T^*$ de $T$ ?

Answer 1

$\def\sp#1{\left\langle#1\right\rangle}$ Para $f,g \in C[0,1]$ tenemos \begin{align*} \sp{Tf, g} &= \int_0^1 Tf(t)g(t)\,dt\\ &= \int_0^1 \int_0^t f(s)\,ds \cdot g(t)\,dt\\ &= \int_0^1 \int_s^1 f(s)g(t)\,dt\,ds\\ &= \int_0^1 f(s)\int_s^1 g(t)\,dt\,ds\\ &=: \sp{f, T^*g} \end{align*} con $$ (T^*g)(s) = \int_s^1 g(t)\, dt, \qquad s \in [0,1] $$

Answer 2

Tenemos $$ (Tf)'=f \quad \forall\ f \in X:=C([0,1]). $$ Utilizando la integración por partes tenemos, para cada $f, g \in X$ : \begin{eqnarray} \langle Tf,g\rangle &=&\int_0^1(Tf)(t)g(t)\,dt=\int_0^1(Tf)(t)(Tg)'(t)\,dt\\ &=&\left[(Tf)(t)(Tg)(t)\right]_0^1-\int_0^1(Tf)'(t)(Tg)(t)\,dt\\ &=&(Tf)(1)(Tg)(1)-\int_0^1(Tf)'(t)(Tg)(t)\,dt\\ &=&\int_0^1f(t)(Tg)(1)dt-\int_0^1f(t)(Tg)(t)\,dt\\ &=&\int_0^1f(t)[(Tg)(1)-(Tg)(t)]\,dt\\ &=&\langle f,T^*g\rangle, \end{eqnarray} donde $$ (T^*g)(t)=(Tg)(1)-(Tg)(t)=\int_0^1g(s)\,ds-\int_0^tg(s)\,ds=\int_t^1g(s)\,ds. $$ Por lo tanto, $$ (T^*f)(t)=\int_t^1f(s)\, ds \quad \forall\ f \in X. $$