¿Cómo puedo encontrar $\Gamma\cap \Omega $ si $\Gamma$ y $\Omega $ son superficie parametrizada?

Question

Consideremos dos superficies $$\Gamma=\{\gamma (u,v)\mid u,v\in \mathbb R\}$$ y $$\Omega =\{\omega (u,v)\mid u,v\in \mathbb R\}.$$

¿Cómo puedo encontrar $\Gamma\cap \Omega $ si $\Gamma$ y $\Omega $ son superficies parametrizadas ? ¿Tengo que pasar por coordenadas cartesianas o puedo hacerlo directamente? Pongamos un ejemplo $$\Gamma=\{\gamma (u,v)=(\cos u\sin v,\sin u \sin v, \cos v)\mid v\in [0,\pi], u\in [0,2\pi]\}$$ y $$\Omega =\{\omega (u,v)=(u,v,0)\mid u,v\in\mathbb R\}.$$

Dejemos que $(x,y,z)\in \Gamma\cap \Omega $ . Lo único que puedo decir es que hay $u,v\in[0,2\pi]\times [0,\pi]$ y $s,t\in \mathbb R$ s.t. $$(x,y,z)=\gamma (u,v)=\omega (s,t),$$ pero no me permite el círculo $$\theta \longmapsto (\cos \theta ,\sin \theta ,0),\quad \theta \in [0,2\pi].$$ Lo que hice fue encontrar la ecuación cartesiana de $\Gamma$ y $\Omega $ y luego lo parametrizamos como sigue $$\Gamma: x^2+y^2+z^2=1\quad \text{and}\quad \Omega : z=0,$$ y así encontramos $$\Gamma\cap \Omega :\begin{cases}x^2+y^2=1\\ z=0\end{cases},$$ y así, tras la parametrización se encuentra $$\Gamma\cap \Omega =\{c(\theta )=(\cos\theta ,\sin\theta ,0)\mid \theta \in [0,2\pi]\}.$$

Pregunta : En primer lugar, sé que mi método usando la coordenada cartesiana es correcto, y mi pregunta no es para saber si la forma en que resolví el problema es correcta o no ya que sé que es correcta. Mi pregunta es : ¿Existe un método directo de $$\Gamma=\{\gamma (u,v)\mid u,v\in \mathbb R\}\quad \text{and}\quad \Omega =\{\omega (u,v)\mid u,v\in \mathbb R\},$$ para encontrar $\Gamma\cap \Omega $ (es decir Sin utilizar las coordenadas cartesianas ) o debo utilizarlos?

Yo pensaría en algo como: encontrar $u,v$ s.t. $\gamma (u,v)=\omega (u,v)$ pero esto no funciona. Otra idea sería multar $u,v,s,t$ s.t. $\gamma (u,v)=\omega (s,t)$ pero sigue sin funcionar, así que ¿Cómo puedo hacerlo si es posible? ?

Así que recuerdo la pregunta: ¿Cómo encontrarías $\Gamma\cap \Omega $ sin utilizar las coordenadas?

Answer 1

Llamando a $\gamma(u,v)=\Gamma$ y $\omega(u,v)=\Omega$ las dos superficies de intersección tenemos

$$ p_1 = p_1(u_1,v_1) \leftarrow \gamma(u_1,v_1) = \Gamma\\ p_2 = p_2(u_2,v_2) \leftarrow \omega(u_2,v_2) = \Omega $$

donde $p_i = (x_i,y_i,z_i), \;\; i \in \{1,2\}$

Para superficies genéricas, la intersección puede obtenerse resolviendo mediante un procedimiento iterativo como los métodos Newton-Raphson.

Así que nuestro problema es resolver

$$ p_1(u_1,v_1)-p_2(u_2,v_2) = 0 $$

que da tres ecuaciones y cuatro incógnitas. La ecuación que falta se utiliza como localizador del punto inicial y luego como restricción de paso.

Este problema también puede tratarse como un problema de minimización o como

$$ \min_{u_1,v_1,u_2,v_2}||p_1-p_2|| $$

Espero que sea de ayuda. Adjunto el resultado de la aplicación del proceso iterativo Newton-Raphson a la determinación de la curva de intersección. El algoritmo utilizado es uno más simple sin corrección de uniformidad de paso.