Representar a $L^{\infty}(X)$ en $\mathcal{B}(L^{2}(X)$ por el operador de multiplicación dado por $f \to M_f$ donde $M_f(g)=fg$ . Quiero demostrar que la conmutante de $L^{\infty}(X)$ cuando se considera como una subálgebra de $\mathcal{B}(L^{2}(X)$ es $L^{\infty}(X)$ . ¿Necesito hacer alguna suposición sobre la medida para mantener estos resultados? ¿Es fiel esta representación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
David C. Ullrich
Puntos
13276
Ah, una de esas cosas que sé que sé demostrar pero que nunca puedo recordar de inmediato cómo demostrarlo.
Nuevas noticias: No es cierto para un espacio de medidas arbitrario. Primero damos la prueba para $\sigma$ -espacios finitos, entonces el contraejemplo.
En primer lugar, si $0<\mu(E)<\infty$ entonces $f\mapsto\int_ETf$ es una función lineal acotada en $L^2$ por lo que existe $m_E\in L^2$ con $$\int_E Tf=\int m_Ef\quad(f\in L^2).$$
Ahora bien, si $f=0$ en $E$ entonces $$\int m_Ef=\int_ETf=\int\chi_ETf=\int T(\chi_Ef)=\int T0=0.$$ En un $\sigma$ -finito (o simplemente semifinito) espacio de medida esto implica que
$m_E=0$ a.e. en $X\setminus E$
(Si no es así, existe $F\subset X\setminus E$ con $0<\mu(F)<\infty$ y $|m|>0$ en $F$ lo que hace que sea fácil inventar $f\in L^2$ apoyado en $F$ por lo que se desvanece en $E$ con $\int m_Ef\ne0$ .)
Siguiente,
Si $E'\subset E$ entonces $m_{E'}=\chi_{E'}m_E$
Porque por cada $f\in L^2$ tenemos $$\int m_{E'}f=\int_{E'}Tf=\int_E\chi_{E'}Tf =\int_E T(\chi_{E'}f)=\int m_E(\chi_{E'}f)=\int(\chi_{E'}m_E)f.$$
Así que $m_{E'}-\chi_{E'}m_E\in L^2$ es ortogonal a cada $f\in L^2$ .
Y así
Teorema Si $\mu(X)<\infty$ existe $m\in L^\infty$ tal que $Tf=mf$ .
En efecto, dejemos que $$m=m_X.$$ Lo anterior demuestra que $m_E=m\chi_E$ por lo que para cada $f\in L^2$ tenemos $$\int_ETf=\int m_Ef=\int_Emf.$$ Así que $Tf=mf$ y ahora si $f\mapsto mf$ está acotado en $L^2$ se deduce que $m\in L^\infty$ .
Se pueden parchear fácilmente las cosas para obtener el resultado de un $\sigma$ -espacio de medida finita. (Empieza escribiendo $X$ como la unión de una secuencia de disyuntiva conjuntos de medida finita...)
Contraejemplo
Diga $X$ es un conjunto incontable. Sea $M$ sea el $\sigma$ -de la álgebra de $E$ tal que $E$ o $X\setminus E$ es contable, y consideramos el espacio de medidas $(X, M,\mu)$ , donde $\mu$ es una medida de recuento restringida a $M$ .
Fijar $E_0\subset X$ con $E_0\notin M$ , y establecer $$m_0=\chi_{E_0}.$$
Ahora, aunque $m_0$ no es medible, tenemos
Dato curioso Si $f\in L^2$ entonces $m_0f$ es medible.
Prueba: $\{f(x)\ne0\}$ es $\sigma$ -finito, por lo tanto contable.
Así que podemos definir un operador lineal acotado en $L^2$ por $$Tf=m_0f.$$
Está claro que $T(gf)=gTf$ para $g\in L^\infty$ . Y si $m$ es una función acotada tal que $Tf=mf$ para todos $f\in L^2$ entonces está claro que $m=m_0$ (porque $\chi_{\{x\}}$ es un valor no nulo $L^2$ ), por lo que $m\notin L^\infty$ .
Nota que $\mu$ es semifinito.
La siguiente sección ya está obsoleta; la dejo aquí por si alguien quiere comprobar que este contraejemplo es coherente con mis cavilaciones sobre cómo el problema es equivalente al "problema de Parcheando":
El caso general
Por si alguien quiere intentar arreglarlo, podría explicar cuál es el problema para un espacio de medidas general. Si $f\in L^2$ entonces $\{f(x)\ne0\}$ es $\sigma$ -finito; se podría definir $m_E$ para $\sigma$ -finito $E$ y tratar de unirlos.
Def. Supongamos que $S$ es una colección de $\sigma$ -conjuntos medibles infinitos y para cada $E\in S$ tenemos una función medible $m_E:E\to\Bbb C$ . Supongamos que $m_E=m_{E'}$ en $E\cap E'$ . Diremos $S$ puede ser parcheado (o $S$ es parcheable ) (o, mejor, $(m_E)_{E\in S}$ se puede parchear) si existe una función medible $m:\bigcup_{E\in S}E\to\Bbb C$ tal que $m=m_E$ casi en todas partes en $E$ .
Si $S$ es contable entonces $S$ puede ser parcheado.
Prueba: Supongamos que $S=\{E_1,E_S,\dots\}$ . Para $x\in\bigcup S$ definir $n(x)=\min\{k:x\in E_k\}$ y $m(x)=m_{E_{n(x)}}(x)$ . No es difícil demostrar que $m=m_E$ casi en todas partes en $E$ .
Si $S$ es incontable se podría ordenar bien $S$ y luego dar una definición análoga de $n(x)$ y $m(x)$ . Pero demostrando que $m=m_E$ casi en todas partes en $E$ parece implicar uniones incontables de conjuntos nulos... (para el caso, la idea de que $m$ tiene que ser medible parece inverosímil para grandes $S$ ).
Editar: Acabo de darme cuenta de que el problema de Parcheando para la clase de $\sigma$ -conjuntos medibles infinitos en un espacio de medidas arbitrario es equivalente a la pregunta original para medidas arbitrarias. Si, como sospecho, la respuesta es no, entonces parece que ésta podría ser una forma de buscar un contraejemplo.
Supongamos entonces que $S$ es la colección de $\sigma$ -conjuntos medibles infinitos y $(m_E)_{E\in S}$ no se puede parchear. Tenga en cuenta que como $\Bbb C$ es homeomorfo al disco unitario podemos suponer que $||m_E||_\infty\le 1$ .
Para $f\in L^2$ definir $$E_f= \{f(x)\ne0\}$$ y luego $$Tf=\int m_{E_f}f.$$ Entonces puede demostrar que $T$ es un operador lineal acotado y que si existe $m\in L^\infty$ con $Tf=mf$ entonces $(m_E)_{E|in S}$ puede ser parcheado.
