Encontrando $[T]_A^B$ dada una transformación $T(eX^2+fX+g)=(e+\alpha f, (1+\alpha)g)$

Question

Dejemos que $T: P_2(\mathbb{F}_4) \rightarrow \mathbb{F}_4^2$ sea dada por: $T(eX^2+fX+g)=(e+\alpha f, (1+\alpha)g)$ , donde $\mathbb{F}_4 = \{0,1,\alpha, 1 + \alpha\}$ con $\alpha^2+\alpha+1=0$ . Encuentre con justificación: a) $[T]_A^B$ , donde $A$ y $B$ son bases estándar para $P_2(\mathbb{F}_4)$ y $\mathbb{F}_4^2$ respectivamente, b) una lista completa de $ker(T)$ y $range(T)$ .

Hasta ahora he introducido los valores de A en la función y tengo una matriz con este aspecto: \begin{bmatrix} 0 & 0 & \alpha & 1+\alpha \\ 0 & 1+\alpha & 0 & 1+\alpha \end{bmatrix}

¿Es esto suficiente para la parte a? A partir de aquí debería ser capaz de conseguir la parte b.

Díganme si estoy en el camino correcto o si estoy haciendo algo mal. Gracias de antemano.

Answer 1

Supongo que esto $T$ la transformación va desde el conjunto de polinomios sobre $F_4$ de grado máximo 2 a ${F_4}^2$ el espacio 2d sobre $F_4$ ¿No?

¿Qué valores tiene usted tapado ¿en? Tienes que solicitarlo $T$ sobre los elementos de la base dada $A$ . Dice, la base estándar, en $P_2(F_4)$ , es decir, los 3 polinomios: $1,x,x^2$ . Ok, entonces calcula $T(1)$ , $T(x)$ y $T(x^2)$ , estos serán los columnas de la matriz. Por lo tanto, esto va a ser un $3\times 2$ matriz.

Para b) no necesitas realmente la matriz. Intenta demostrar que cualquier vector 2d está en el rango de $T$ (para esto, no es necesario que el campo sea $F_4$ ), y calcular qué $(e,f,g)$ los coeficientes dan $0$ cuando se aplica $T$ .

Dejemos que $\beta:=\alpha+1$ .