Funciones de variables aleatorias y probabilidad condicional

Question

Supongamos que tengo dos variables aleatorias $X,Y$ sobre algún conjunto finito y una función $f$ tal que

$\forall z \in Image(f) \, Prob[f(X,Y)=z | X = x] = Prob[f(X,Y) = z]$

Intuitivamente, pensaría que si ahora considero la función $h(X,Y) = g(f(X,Y))$ Debería haber

$\forall w \in Image(h)\, Prob[h(X,Y) = w | X = x] = Prob[h(X,Y) = w].$

Sin embargo, un simple contraejemplo demuestra que no es así. Si elegimos $X,Y$ para que se distribuya uniformemente sobre $\{0,1\}$ y $$f(X,Y) = (-1)^{X+Y}$$ entonces $f(X,Y)$ y $f(X,Y) | X = x$ ambos tienen la misma distribución: se distribuyen uniformemente sobre $\{-1,1\}.$

Sin embargo, si tomo $g(z) = log_{-1}(z)$ entonces $h(X,Y) = g(f(X,Y)) = X + Y$ no tiene la misma distribución que $X + Y | X = x$ . Por ejemplo, tenemos que $Prob(X+Y=2) = 1/4$ pero $Prob(X+Y = 2 | X = 0) = 0.$

¿Qué ocurre en este contraejemplo que rompe la intuición? ¿Es que $\log_{-1}(z)$ no es una función bien definida (tiene múltiples ramas complejas)? ¿Es porque $\log_{-1}(z)$ es discontinuo para $z = -1$ ? ¿O es que la intuición no es cierta?

Answer 1

La afirmación "intuitiva" del principio es correcta: $$\begin{equation} P(h(X,Y) = w \mid X = x) = P(f(X,Y) \in \{z \mid g(z)=w\} \mid X = x) \\ = \sum_{z_i \in \{z \mid g(z)=w\}} P(f(X,Y) = z_i \mid X=x) = \sum_{z_i \in \{z \mid g(z)=w\}} P(f(X,Y) = z_i) = P(f(X,Y) \in \{z \mid g(z)=w\}) = P(h(X,Y) = w). \end{equation}$$

Una forma alternativa de decirlo sería que si $f(X,Y)$ y $X$ son independientes, entonces $g(f(X,Y))$ y $X$ son independientes. La aplicación de un mapeo determinista a una de las variables aleatorias independientes no puede perder la independencia.

El contraejemplo no funciona porque no hay ninguna función $g$ con la propiedad de que $g((-1)^{(X+Y)})=X+Y$ para todos los valores $X+Y$ puede alcanzar aquí (como señaló @whuber en los comentarios). El ejemplo es equivalente a su primer intento (mencionado en los comentarios) con $f(X,Y)=X+Y~\mathrm{mod}~2$ hasta reetiquetar la gama de $f$ . Como usted encontró que no había ninguna función en ese caso la primera versión, no hay ninguna función aplicable en el nuevo caso, tampoco.

$\mathrm{log}_{-1}$ que no sea una función de este tipo podría interpretarse como que se debe a que tiene "múltiples ramas": si queremos $(-1)^w = z$ para dar a entender $\mathrm{log}_{-1}(z)=w$ , $\mathrm{log}_{-1}(1)$ debe ser igual a ambos $0$ y $2$ que es una prueba por contradicción de la inexistencia de dicha función. Podemos decidir definir si como una función multivaluada o quizás definir una función de $(X,Y)$ que elige la "rama" correcta en función de $X+Y$ -- pero entonces las premisas de la afirmación inicial no se sostienen.