Supongamos que tengo dos variables aleatorias $X,Y$ sobre algún conjunto finito y una función $f$ tal que
$\forall z \in Image(f) \, Prob[f(X,Y)=z | X = x] = Prob[f(X,Y) = z]$
Intuitivamente, pensaría que si ahora considero la función $h(X,Y) = g(f(X,Y))$ Debería haber
$\forall w \in Image(h)\, Prob[h(X,Y) = w | X = x] = Prob[h(X,Y) = w].$
Sin embargo, un simple contraejemplo demuestra que no es así. Si elegimos $X,Y$ para que se distribuya uniformemente sobre $\{0,1\}$ y $$f(X,Y) = (-1)^{X+Y}$$ entonces $f(X,Y)$ y $f(X,Y) | X = x$ ambos tienen la misma distribución: se distribuyen uniformemente sobre $\{-1,1\}.$
Sin embargo, si tomo $g(z) = log_{-1}(z)$ entonces $h(X,Y) = g(f(X,Y)) = X + Y$ no tiene la misma distribución que $X + Y | X = x$ . Por ejemplo, tenemos que $Prob(X+Y=2) = 1/4$ pero $Prob(X+Y = 2 | X = 0) = 0.$
¿Qué ocurre en este contraejemplo que rompe la intuición? ¿Es que $\log_{-1}(z)$ no es una función bien definida (tiene múltiples ramas complejas)? ¿Es porque $\log_{-1}(z)$ es discontinuo para $z = -1$ ? ¿O es que la intuición no es cierta?