Estoy confundido en cuanto a cómo empezar con esto $\left(y^2-3x^2\right)\;dy +\left(2xy\right)\;dx=0$
¿Es una ecuación diferencial lineal? Agradezco cualquier pista que me puedan dar.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No es un ODE lineal.
La EDO lineal es de la forma siguiente: $$\sum_{i=1}^n P_i(x)y^{(n)}(x)+P_0(x)y+q(x)=0$$ donde $y^{(n)}(x)$ es la n'ª derivada de y con respecto a x. Pero aparece el término $y^2$ que no es lineal. Esta ecuación es una ecuación diferencial homogénea de primer orden.
ecuación diferencial de primer orden de la forma $M(x,y)dx+n(x,y)dy=0$ se llama completa si $$\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ pero aquí no es el caso. Sin embargo podemos hacer alguna ecuación de esta forma completa con un coeficiente llamado Factor Integral. El mecanismo es como el de abajo: $$\mu(x,y)M(x,y)dx+\mu(x,y)n(x,y)dy=0$$ ahora si tenemos $$\frac{\partial (\mu M)}{\partial x}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$$ entonces podemos resolverlo. ahora encontrar este llamado $\mu$ . Bueno, resolverlo usando el factor integral es casi imposible porque el factor integral no es una función de una sola variable. $x$ o $y$ Por lo tanto, encontrarla es tan difícil como resolver la ecuación principal: $$y'=\frac{2xy}{3x^2-y^2}$$ después de una fácil manipulación obtenemos la ecuación anterior. ahora podemos escribir: $$y'=\frac{2\frac{y}{x}}{3-(\frac{y}{x})^2}$$ ahora introducimos esta nueva variable $\frac{y}{x}=h \Rightarrow y'=h'x+h$ así que ahora tenemos esto: $$h'x+h=\frac{2h}{3-h^2} \Rightarrow h'x=\frac{h(h+1)(h-1)}{3-h^2}$$
entonces podemos resolverlo fácilmente porque ahora las variables son separables. entonces con la Expansión Parcial de Fracciones e Integrando obtenemos: $$dh \times (\frac{-3}{h}+\frac{1}{h+1}+\frac{1}{h+1})=\frac{dx}{x}$$
$\Rightarrow $ ln $(h-1)-3$ ln $(h)+$ ln $(h+1)=$ ln $x+c \Rightarrow \frac{h^2-1}{h^3}=Cx \Rightarrow Cxh^3-h^2+1=0$
esta es una ecuación cúbica y tiene tres soluciones. pero desafortunadamente resolver esta ecuación para obtener las soluciones con la fórmula de Cardano es bastante complicado. pero en el lado bueno todavía tenemos la fórmula implícita para $y(x)$ : $$Cx(\frac{y}{x})^3-(\frac{y}{x})^2+1=0$$
