Estoy investigando el siguiente resultado en la integración
$\displaystyle\int_{0}^{a}f(a-x) \ \mathrm{d}x = \int_{0}^{a}f(x) \ \mathrm{d}x \ \ \ (*)$
Este pequeño resultado es la base de muchas preguntas en los exámenes de cálculo, que a menudo piden que se evalúe algo como $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \ \mathrm{d}x$ donde $n$ es un número entero positivo. El proceso de resolver esta integral no es demasiado difícil, y es casi inmediato a partir de $(*)$ .
Mi pregunta es la siguiente: ¿se le ocurre a alguien alguna integral más desafiante (que posiblemente requiera alguna sustitución inteligente, integración por partes, etc.) que $(*)$ puede ayudar a resolver?
ACTUALIZACIÓN
También me encontré con otra identidad que implicaba la diferenciación:
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u(x))^{v(x)} = (u(x))^{v(x)}\left(\frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}\ln u(x) + \frac{v(x)}{u(x)}\frac{\mathrm{d}u(x)}{\mathrm{d}x}\right)$ .
Esta es otra identidad que se puede utilizar para resolver integrales, pero de nuevo soy incapaz de encontrar ningún ejemplo creativo, así que si alguien puede sugerir alguno estaré encantado de darle una oportunidad.