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Dos resultados interesantes en la integración $\int_{0}^{a}f(a-x) \ \mathrm{d}x= \int_{0}^{a}f(x)\ \mathrm{d}x$ y diferenciación de potencias de funciones

Estoy investigando el siguiente resultado en la integración

$\displaystyle\int_{0}^{a}f(a-x) \ \mathrm{d}x = \int_{0}^{a}f(x) \ \mathrm{d}x \ \ \ (*)$

Este pequeño resultado es la base de muchas preguntas en los exámenes de cálculo, que a menudo piden que se evalúe algo como $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^n x}{\sin^n x + \cos^n x} \ \mathrm{d}x$ donde $n$ es un número entero positivo. El proceso de resolver esta integral no es demasiado difícil, y es casi inmediato a partir de $(*)$ .

Mi pregunta es la siguiente: ¿se le ocurre a alguien alguna integral más desafiante (que posiblemente requiera alguna sustitución inteligente, integración por partes, etc.) que $(*)$ puede ayudar a resolver?

ACTUALIZACIÓN

También me encontré con otra identidad que implicaba la diferenciación:

$\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(u(x))^{v(x)} = (u(x))^{v(x)}\left(\frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x}\ln u(x) + \frac{v(x)}{u(x)}\frac{\mathrm{d}u(x)}{\mathrm{d}x}\right)$ .

Esta es otra identidad que se puede utilizar para resolver integrales, pero de nuevo soy incapaz de encontrar ningún ejemplo creativo, así que si alguien puede sugerir alguno estaré encantado de darle una oportunidad.

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Jonas H. Puntos 859

Hay muchas respuestas posibles. Por ejemplo, $$\int_{0}^{1} \frac{x^3}{3x^2-3x+1} \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \frac{x^3}{x^3+(1-x)^3} \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$$ o $$\int_{0}^{1}\frac{x^5}{5x^4-10x^3+10x^2-5x+1}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$$ son dos buenos ejemplos de cómo se puede utilizar esta propiedad. Podemos utilizar esta propiedad para calcular estas integrales de aspecto complicado en menos de unos segundos.

Si no utilizáramos esta propiedad, tendríamos que usar cosas como $$\int \frac{x^5}{5x^4-10x^3+10x^2-5x+1}\mathrm{d} x$$ Lo cual acaba siendo más que complicado, como se puede ver aquí . .

En general, tenemos la propiedad

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2n+1}}{\sum_{k=1}^{2n+1}\binom{2n+1}{k} (-x)^{2n+1-k}}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$$

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BaroqueFreak Puntos 11

Prueba este. $$\int_{0}^{1}\frac{\ln(1+x)}{1+x^{2}}dx$$

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