Tengo una pregunta con respecto al número de permutaciones en una prueba de permutación. Supongamos que quiero hacer una prueba independiente de dos grupos t -prueba. En la variante de permutación del t -prueba, generaría repetidamente permutaciones de las etiquetas de grupo [por ejemplo, (1, 2, 1, 2, ..., 1) ] y calcular un t para cada iteración.
Supongamos que quiero hacer una prueba de permutación exhaustiva en la que genero todas las posibles divisiones de la muestra en dos grupos. Según Ernst (2004), "[c]omputación de la distribución de permutación de una prueba estadística implica una enumeración cuidadosa de todas las $\binom{N}{n}$ divisiones de las observaciones". Aquí, $N$ es el tamaño total de la muestra y $n$ es el tamaño de uno de los grupos. Según Ernst (2004) -y todas las demás referencias que he encontrado sobre este tema -- la creación de todas las "divisiones de las observaciones" se realiza generando todas las permutaciones de las etiquetas de los grupos.
Sin embargo, la generación de todas las permutaciones de las etiquetas de los grupos dará lugar a duplicar las "divisiones de las observaciones" si los dos grupos son de igual tamaño. Por ejemplo, las permutaciones $(1, 1, 2, 2)$ y $(2, 2, 1, 1)$ corresponden claramente a la misma división, pero representan diferentes permutaciones de las etiquetas de los grupos. Por lo tanto, el número de divisiones únicas división de las observaciones no viene dado por el coeficiente binomial, sino que hay que dividirlo por 2 (para $K$ grupos de igual tamaño, hay que dividir el número de permutaciones de las etiquetas de los grupos por $K!$ ). Obsérvese que no se producen duplicados si los grupos son de diferente tamaño.
Esto da lugar a varias preguntas por mi parte: ¿Se ha tratado este asunto tratado en alguna referencia (no he encontrado ninguna)? ¿Ha sido esta cuestión pasado por alto por completo hasta ahora? ¿O existe una razón sensata para generar divisiones duplicadas en el caso de grupos de igual tamaño? (tenga en cuenta que no no lo hace cuando tiene tamaños de grupo desiguales, por lo que en mi opinión esto sería raro)
Ernst, M. D. (2004). Métodos de permutación: una base para la inferencia exacta. Ciencia Estadística, 19 , 676-685.
