Demostrar que todo conjunto abierto es medible por Lebesgue

Question

Dejemos que $\mathbb{R}^n\supset{I}=(a,b)=(a_1,b_1)\times...\times(a_n,b_n)$ con $a,b\in{\mathbb{R}^n}$ tal que $a_i\lt b_i $$ \para todo i$. Así que la medida exterior se define como:

$$ \mu^*(A)=inf\{\sum_{i\in{J}}V(I_i)\mid A\subset\bigcup_{i\in{J}}(I_i)\} $$

Dónde: $\{I_i\}_{i\in{J}}$ es una cubierta de A.

Ya he demostrado que cada $I$ es un conjunto medible por Lebesgue. Ahora quiero demostrar que todo conjunto abierto es medible por Lebesgue.

He hecho esto, ¿es correcto?

Sea A un conjunto abierto. Para cada $x\in A$ con $x=(x_1,..,x_n)$ existe un $r>0 $ tal que $B(x;r)\subset A$ . Si tomamos $r$ lo suficientemente pequeño, existe $\alpha > 0$ tal que:

$$ B(x;r)\subset I_x=(x_1-\alpha,x_1+\alpha)\times...\times(x_n-\alpha,x_n+\alpha)\subset A $$
Entonces defina $A$ con: $$ A=\bigcup_{x\in A} I_x $$ A es la unión de conjuntos medibles por Lebesgue, por lo que A es medible por Lebesgue.

Answer 1

No, tu argumento no funciona tal cual, porque no es cierto que una unión arbitraria de conjuntos medibles sea medible (si lo fuera, todo conjunto sería medible ya que los puntos son medibles).

Lo que hay que hacer es escribir $A$ como contable unión de ciertos $I_n$ . Esto se puede conseguir, por ejemplo, considerando el conjunto $$ A_r=\{x\in A:\ x_k\in\mathbb Q,\ k=1,\ldots,n\}. $$ Para cada $x\in A_r$ existe $I_{x,\alpha}=(x_1-\alpha,x_1+\alpha)\times\ldots\times(x_n-\alpha,x_n+\alpha) $ tal que $I_{x,\alpha}\subset A$ . Entonces, si dejamos que $I_{x,\alpha}=\emptyset$ cuando $I_{x,\alpha}\not\subset A$ , $$ A=\bigcup_{x\in A_r}\bigcup_{\alpha\in\mathbb Q_+} I_{x,\alpha} $$ es una unión contable de intervalos, por lo que es medible.