¿Cuántas adjunciones hay entre categorías (infinitas)?

Question

El título es un poco impreciso. Considere las categorías "típicas" $\mathcal{A},\mathcal{B}$ digamos infinito y localmente pequeño. Un par de funtores adyacentes $(F,G$ ) es un par de funtores $(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}, G : \mathcal{B} \to \mathcal{A})$ , de tal manera que $F$ es conjunta a la izquierda con $G$ . Consideramos que $(F,G)$ y $(F',G'$ ) lo mismo, si $F\cong F'$ o $G\cong G'$ .

¿Cuántos pares de funtores adyacentes hay entre $\mathcal{A}$ y $\mathcal{B}$ ?

Me refiero a esto de forma muy amplia: ¿muchos finitos, infinitos, posiblemente una clase propia? Si no se puede decir nada en general, entonces qué pasa con ejemplos importantes como $\mathcal{A},\mathcal{B}$ ¿son categorías de álgebras universales o una es la categoría de categorías pequeñas?

Answer 1

Dejemos que $A, B$ ambos sean $\text{Set}$ . Para cualquier conjunto $X$ existe una conjunción entre los funtores $(-) \times X$ y $[X, -]$ (aquí me refiero al conjunto de funciones de $X$ en algún otro conjunto). Así que en este caso hay una clase propia de adjuntos, incluso hasta el isomorfismo. Espero que esto sea típico. (Obsérvese que $F \cong F'$ equivale a $G \cong G'$ .)

De forma más general, en este argumento podemos sustituir $A, B$ con un categoría monoidal cerrada que no es esencialmente pequeño. Hay muchos ejemplos, como $(\text{Ab}, \otimes)$ o, para el caso, $(\text{Cat}, \times)$ .

Editar: A veces es posible clasificar todos los colindantes de la izquierda $F : A \to B$ . Por ejemplo, si $A$ es la categoría $[C^{op}, \text{Set}]$ de preseaves en una categoría esencialmente pequeña $C$ entonces la categoría de adjuntos de la izquierda $A \to B$ es equivalente a la categoría de funtores $C \to B$ . Si $B$ es la categoría $[D^{op}, \text{Set}]$ de presheaves en otra categoría esencialmente pequeña $D$ entonces esta es a su vez la categoría $[C \times D^{op}, \text{Set}]$ de bimódulos en $C$ y $D$ .