Número de homomorfismo entre $(\mathbb{Q}^{+}, \cdot)$ y $(\mathbb{Z}_n, +)$

Question

En la entrevista de NISER , se preguntó:

Demuestre que hay un número finito de homomorfismos entre $(\mathbb{Q}^{+}, \cdot)$ y $(\mathbb{Z}_n, +)$ .

Sé que el número de homomorfismo entre $(\mathbb{Z}_n, +)$ y $(\mathbb{Q}^{+}, \cdot)$ es $1$ ya que sólo hay un elemento, a saber $0$ en $\mathbb{Q}$ de orden finito. Pero en mi pregunta anterior, el dominio tiene un elemento de orden finito mientras que el dominio tiene todos los elementos de orden finito. Esto me resulta difícil de manejar porque no puedo utilizar la relación $o(f(a))$ divide $o(a)$ para todo elemento de orden finito en el dominio donde $f$ es un homomorfismo de grupo.

Gracias

Answer 1

Todo racional positivo puede escribirse como $n/m$ para algunos enteros positivos $n,m$ . Por lo tanto, también se puede escribir como $p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}$ con $p_i$ primo y $a_i\in\mathbb{Z}$ debido al teorema fundamental de la aritmética aplicado tanto al numerador como al denominador. Puedes comprobar que la asociación $n/m\mapsto p_1^{a_1}\cdots p_n^{a_n}$ define un homomorfismo de grupo $\mathbb{Q}^+\to\bigoplus_{p\text{ primes}}\mathbb{Z}$ con el grupo abeliano libre de rango infinito contable en el lado derecho.

Esto demuestra que hay infinitos homomorfismos de $\mathbb{Q}^+$ a cualquier grupo no trivial $G$ .

Por otro lado, si $G$ es finito (o más generalmente periódico) entonces no puede haber un homomorfismo no trivial de $G$ a $\mathbb{Q}^+$ . Simplemente porque $\mathbb{Q}^+$ no tiene elementos no nulos de orden finito.