Es $\int_1^2 \frac{\cos t}{1-\sqrt t} \, dt$ ¿integrable?

Question

Es $\displaystyle \int_1^2 \frac{\cos t}{1-\sqrt t} \, dt < \infty $ ? ¿Cómo demostrarlo?

Afortunadamente

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\frac{\cos(t)}{1-\sqrt{t}}=\frac{(1+\sqrt{t})\cos(t)}{1-t}$$

ALERTA DE SPOILER: DESPLÁCESE POR LA ZONA RESALTADA PARA VER LA SOLUCIÓN

Tenga en cuenta que para cualquier $\epsilon >0$ y $x\in (1+\epsilon,3/2]$ tenemos $$\frac{(1+\sqrt{t})\cos(t)}{1-t}\le \frac{\left(1+\sqrt{\frac32}\right)\cos(3/2)}{1-t}$$ y $$\int_{1+\epsilon}^{3/2}\frac{1}{1-t}\,dt=\log(2\epsilon)\to -\infty$$ como $\epsilon \to 0^+$ . Así, la integral de interés diverge.

Answer 2

Deberías comprobar lo que ocurre cerca de $1^+$ : $$\frac{\cos t}{1-\sqrt t}=\frac{\cos t}{1-\sqrt {1+(t-1)}}\sim \frac{\cos 1}{1-(1+\frac{1}{2}(t-1))}=-\frac{2\cos 1}{t-1}$$ que NO es integrable. Además $\displaystyle \int_1^2 \frac{\cos t}{1-\sqrt t} \, dt = -\infty$ porque $-2\cos 1<0$

Answer 3

Suponiendo que la integral es convergente, la integral $$ \int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{2z}{1-z}\,\cos(z^2)\,dt $$ también es convergente, debido a la sustitución $t=z^2$ . Sin embargo, la última función integrante es una función meromorfa con un polo simple en $z=1$ con residuos $-2\cos(1)$ por lo que la última integral no es convergente y tampoco es el original.