¿Existe un functor de ordenación?

Question

Esto parece una pregunta muy tonta que debería tener una respuesta negativa, pero no veo ningún argumento. La pregunta precisa es ésta:

¿Existe un functor covariante $ord$ de la categoría de conjuntos y funciones a la categoría de conjuntos totalmente ordenados y funciones crecientes tal que todo conjunto $X$ es el conjunto subyacente de $ord(X)$ ?

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Por supuesto, asumo el axioma de elección para que todo conjunto pueda estar incluso bien ordenado. Dado que el buen ordenamiento se basa en elecciones más bien arbitrarias, no parece haber una razón por la que deba ser en algún sentido "compatible" con todas las funciones. Mi opinión es que tal functor ni siquiera existe en la subcategoría de conjuntos finitos.

Answer 1

Respuesta conceptual.

No puede haber tal functor. Sea $C$ sea cualquier categoría concreta de conjuntos finitos y mapeos tal que los únicos automorfismos en $C$ son triviales. Afirmo que no hay un functor subyacente que preserve el conjunto $F$ de la categoría $\mathbf{FSet}$ de conjuntos finitos a $C$ . La categoría de los conjuntos finitos totalmente ordenados y de los mapas que conservan el orden tiene esta forma.

Llamemos a la rango de una cartografía el tamaño de su imagen.

Primera nota de la categoría $\mathbf{FSet}$ de conjuntos finitos, todos los idempotentes se dividen. Es decir, si $e\colon X\to X$ es un idempotente entonces hay morfismos $f\colon X\to Y$ y $g\colon Y\to X$ con $gf=e$ y $fg=1_Y$ para algún conjunto finito $Y$ . Aquí puede tomar $Y$ para ser la imagen de $e$ y tomar $g$ para ser la inclusión y $f$ para ser el "corestricto" de $e$ . Desde $F(f)F(g)=F(fg)=F(1_Y)=1_Y$ deducimos que $F(f)$ es suryente y $F(g)$ es inyectiva y por tanto $F(e)=F(g)F(f)$ tiene imagen de tamaño $|Y|$ . Así, $F$ preserva los rangos de los idempotentes, es decir, el rango $e$ = rango $F(e)$ .

A continuación, observe que si $|X|\geq 3$ entonces hay un idempotente de rango $|X|-2$ que es un producto de rango conjugado $|X|-1$ idempotentes. Para facilitar la notación supongamos $|X|=n$ . Para $i\neq j$ dejar $e_{i,j}$ sea el rango $n-1$ idempotente con $e_{i,j}(i)=i=e_{i,j}(j)$ y que fija todos los demás elementos. Sea $k\neq i,j$ . Entonces $f=e_{i,j}e_{j, k}$ envía $i,j,k$ a $i$ y fija todos los demás elementos, por lo que es un rango $n-2$ idempotente.

Observe que $e_{i,j}$ y $e_{j,k}$ son conjugados por la permutación $(i,j,k)$ Tenemos $e_{j,k} = (i,j,k)e_{i,j}(k,j,i)$ . Desde $F((i,j,k))=1_X$ Debemos tener $F(e_{i,j})=F(e_{j,k})$ . Ya que estos son idempotentes, $F(f)=f(e_{i,j})$ , contradiciendo que $F$ preserva el rango de los idempotentes.

Respuesta original. Creo que no hay ningún functor de conjuntos finitos a conjuntos finitos totalmente ordenados con mapas que preserven el orden que preservan los conjuntos subyacentes. He aquí una prueba. Sea $F$ sea un functor de este tipo. Debe enviar cada permutación de un conjunto finito $X$ a la identidad ya que no hay automorfismos no triviales de un conjunto finito totalmente ordenado. A continuación afirmo que todo endomorfismo no invertible $f\colon X\to X$ tiene $F(f)$ un mapeo constante. Para ello, utilizo el hecho bien conocido de que el monoide de auto-mapas de $X$ está generado por el grupo simétrico $S_X$ y cualquier idempotente $e$ con imagen de tamaño $|X|-1$ . Por lo tanto, ya que $F(S_X)$ es la identidad, todo mapeo no invertible se envía a $F(e)$ . Pero si $f\colon X\to X$ es un mapeo constante, tenemos que $f= gh$ con $h\colon X\to \{1\}$ y $g\colon \{1\}\to X$ . Así, $F(f)=F(g)F(h)$ tiene imagen de tamaño $1$ . Así, $F(e)$ arriba debe tener imagen de tamaño $1$ y por lo tanto todo mapeo no invertible de $X$ a $X$ se envía a un mapeo constante. Esto es un problema.

Considere $f\colon \{1,2\}\to \{1,2,3\}$ dada por la inclusión y $g\colon \{1,2,3\}\to \{1,2\}$ dado por $g(1)=1$ , $g(2)=2$ y $g(3)=2$ . Entonces $gf$ es la identidad pero $fg$ no es invertible. Así, $F(gf)$ es una cartografía de identificación y $F(fg)$ es un mapeo constante, lo cual es imposible ya que $gf=gfgf$ y así $F(gf)=F(g)F(fg)F(f)$ es tanto un mapa constante como una identidad para un conjunto de dos elementos.