Los enteros (posiblemente negativos) que surgen de la suma de los elementos de cualquier columna de la tabla de caracteres

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $A$ sea la tabla de caracteres para las representaciones complejas irreducibles. La suma de elementos en cualquier fila de la tabla de caracteres es un número entero positivo ya que es igual a la multiplicidad de la representación irreducible correspondiente a esa fila dentro de $V$ , donde $V$ es la representación en el álgebra de grupo inducida por la acción de conjugación de $G$ .

Pero, ¿cómo entender la suma de elementos en cualquier columna de la tabla de caracteres en términos de teoría de la representación? Es un número entero según la teoría de Galois, pero podría no ser positivo (por ejemplo $G=M_{11}$ ). En el caso de los grupos de Weyl, ¿existe una fórmula sencilla? Al menos, ¿podemos determinar su signo a partir de $G$ ?

Answer 1

Si $G$ es un grupo finito cuyas representaciones complejas irreducibles son todas realizables sobre $\mathbb{R}$ (por ejemplo $G = S_{n}$ ), entonces para cualquier $x \in G$ la suma de las entradas de la columna correspondiente a (la clase de conjugación de ) $x$ es precisamente el número de raíces cuadradas de $x$ en $G$ por lo que es, en particular, un número entero no negativo (y es estrictamente positivo si $x$ tiene orden de impar).