¿Número de formas de derivar el número 14 utilizando una definición recursiva de los números PARES?

Question

Tengo la siguiente definición recursiva para la construcción de Números EVEN-

[RULE 1]: 2 is an EVEN number.

[RULE 2]: If x is an EVEN number and y is an EVEN number, then x+y is also an EVEN number.

¿De cuántas maneras se puede derivar el número 14 utilizando la definición anterior? Por ejemplo, una forma de derivar el 14 es

2 is in EVEN,
 2+2 = 4 is in EVEN,
 4 + 4 = 8 is in EVEN, 
8 + 4 = 12 is in EVEN 
and finally 12 + 2 = 14 is in EVEN.

Intenté por ensayo y error y pude obtener una respuesta (9 formas) para este problema pero

(1) No estoy seguro de que mi respuesta sea correcta

(2) No he podido encontrar un patrón general, es decir, dado un número PAR n, ¿existe una función f(n) que me dé el número de formas de derivar n?

Answer 1

$f(n)$ : Número de maneras en que el número entero $n$ puede derivarse de la definición anterior.

Para cada número par $n$ debemos considerar las siguientes particiones de forma recursiva:

$$ n = (n-2) + 2\\ n = (n-4) + 4\\ n = (n-6) + 6\\ \cdots\\ n = s + t $$

donde $s$ y $t$ se definen como sigue:

$$ (s, t) = \left\{ \begin{array}{ll} (\frac{n}{2}, \frac{n}{2}) & \mbox{if } \frac{n}{2}~is~even \\ (ceil(\frac{n}{2}), floor(\frac{n}{2})) & otherwise \end{array} \right. $$

Se definen así porque supongo que el orden de los números en cada partición no importa. Si el orden es importante para usted, continúe con las particiones a $n = 2 + (n-2)$ en su lugar.

Pero este es el nivel superior de nuestra recursión. Después de usar cada partición debemos seguir partiendo las partes de la misma manera. Así que podemos definir el $f(n)$ :

$$ f(n) =\Sigma_{i=1}^{t/2}f(n-2i) + f(2i)\\ f(2) = 1 $$