$a$ , $b$ y $c$ son raíces de la ecuación $x^3-x^2-x-1=0$

Question

Las raíces de la ecuación $x^3-x^2-x-1=0$ son $a$ , $b$ y $c$ .

si $n \gt 21 $ y $n \in \mathbb{N}$ La búsqueda de los posibles valores de $$E=\frac{a^n-b^n}{a-b}+\frac{b^n-c^n}{b-c}+\frac{c^n-a^n}{c-a}$$ en $[0 \: 2]$ ¿lo son?

Desde $x^3=x^2+x+1$ de los gráficos de $x^3$ y $x^2+x+1$ está claro que se encuentran en un punto. Así que el número de raíces reales de $x^3-x^2-x-1=0$ es uno que es positivo y los dos restantes son conjugados complejos. Así que dejemos que las raíces sean $a$ y $b=re^{i\theta}$ y $c=re^{-i\theta}$ Pero el producto de las raíces es $$ar^2=1$$ por lo que $$r=\frac{1}{\sqrt{a}}$$

Asumiendo ahora $b=z$ y $c=\bar{z}$ entonces

$$E=\frac{a^n-z^n}{a-z}+\frac{z^n-\bar{z}^n}{z-\bar{z}}+\frac{\bar{z}^n-a^n}{\bar{z}-a}$$ así que

$$E=2 \Re\left(\frac{a^n-z^n}{a-z}\right)+r^{n-1}\frac{\sin(n\theta)}{\sin\theta}$$

No soy capaz de proceder desde aquí

Answer 1

¿No es una pregunta trampa?

Dejemos que $$A_{n}=\frac{a^n-b^n}{a-b}$$

A continuación, anote $$a^{n+3}=a^{n+2}+a^{n+1}+a^{n}$$$$ b^{n+3}=b^{n+2}+b^{n+1}+b^{n} $$ Thus subtract the two, and divide by $ a-b$.

Esto nos da $$A_{n+3}=A_{n+2}+A_{n+1}+A_{n}$$

De forma similar, si $$B_{n}=\frac{b^n-c^n}{b-c}$$$$ C_{n}=\frac{c^n-a^n}{c-a}$$

Entonces $$B_{n+3}=B_{n+2}+B_{n+1}+B_{n}$$$$ C_{n+3}=C_{n+2}+C_{n+1}+C_{n}$$

Por lo tanto, si $$E_n=\frac{a^n-b^n}{a-b}+\frac{b^n-c^n}{b-c}+\frac{c^n-a^n}{c-a}$$

Entonces $$E_{n+3}=E_{n+2}+E_{n+1}+E_{n}$$ desde $E_{n}=A_{n}+B_{n}+C_{n}$ .

Ahora, $E_0=0, E_1=3, E_2=2$ y utilizar nuestra recurrencia anterior.

Answer 2

CONSEJO: Si

$E_n=\frac{a^n-b^n}{a-b}+\frac{b^n-c^n}{b-c}+\frac{c^n-a^n}{c-a}$

entonces, debido a $x^3=x^2+x+1$ tienes $x^n=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}$ y:

$E_n=E_{n-1} + E_{n-2} + E_{n-3}$ .

Es fácil averiguar los primeros valores de esta recurrencia.