Evaluación del isomorfismo $\wedge^{2}V\cong\mathfrak{so}(2n)$ en los elementos de base.

Question

Vuelvo con otra pregunta sobre la sección 20 de Fulton y Harris (un poco antes de lo que esperaba).

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial complejo par con una forma cuadrática $Q$ y una base ortonormal $\{e_{1},\cdots,e_{2n}\}$ . Tenemos el siguiente isomorfismo de álgebras de Lie: $$ \phi:\wedge^{2}V\to\mathfrak{so}(2n)\subseteq\text{End}(V)\text{ , }\ a\wedge b\mapsto\phi_{a\wedge b} $$ donde $$ \phi_{a\wedge b}(v)=2(\langle b,v \rangle a-\langle a, v\rangle b) $$

Fulton y harris afirman que este isomorfismo mapea los elementos de la base estándar $\frac{1}{2}e_{i}\wedge e_{n+j}$ de $\wedge^{2}V$ a $E_{i,j}-E_{n+j,n+i}$ donde el $E_{i,j}$ son $2n\times 2n$ matrices con el $i$ -en $j$ -ésima entrada $1$ y todas las demás entradas $0$ .

Esto debería ser un cálculo bastante fácil, pero no está funcionando. Procedo de la siguiente manera:

$$ \phi_{\frac{1}{2}e_{i}\wedge e_{n+j}}(e_{k})=\langle e_{n+j},e_{k}\rangle e_{i}-\langle e_{i}, e_{k}\rangle e_{n+j} = \delta_{n+j,k}e_{i}-\delta_{i,k}e_{n+j} $$

Mientras que por otro lado:

$$ (E_{i,j}-E_{n+j,n+i})e_{k} = \delta_{j,k}e_{i} - \delta_{n+i,k}e_{n+j} $$

Estas dos expresiones son claramente diferentes, por lo que o bien he cometido un error elemental en alguna parte, o bien tengo un malentendido fundamental de algo. Agradecería mucho que alguien me indicara mi error, o me ayudara a conciliar estas dos expresiones.

Answer 1

He conseguido resolver mi problema.

En el cálculo anterior he utilizado la forma bilineal estándar $\langle x,y \rangle=x^{T}y$ que se asocia con la cuadrática de dada por la matriz de identidad. Por otro lado, Fulton y Harris utilizaban la forma bilineal dada por $\langle x,y \rangle=x^{T}Sy$ , donde $S$ es la matriz antidiagonal en bloque $S=\begin{pmatrix}0&\mathbb{1}_{n}\\\mathbb{1}_{n}&0\end{pmatrix}$ .

Ambas formas bilineales son simétricas y no degeneradas, por lo que (al menos sobre $\mathbb{C}$ ), definen copias isomorfas del grupo ortogonal especial y del álgebra de Lie asociada.

A pesar de que ambas formas conducen a álgebras de Lie isomorfas, los elementos parecen diferentes. Con la primera convención los elementos son matrices antisimétricas, mientras que para la segunda convención son matrices $A$ tal que $A^{T}S+SA=0$ . En particular, el $H_{i}$ forman una subálgebra de Cartan en la segunda convención, pero ni siquiera pertenecen a $\mathfrak{so}(2n)$ en la primera convención.

Utilizando la segunda convención tenemos que para $1\leq i,j\leq n$ , $\langle e_{i},e_{j}\rangle=\langle e_{n+i},e_{n+j}\rangle=0$ y $\langle e_{i},e_{n+j}\rangle=\langle e_{n+i},e_{j}\rangle=\delta_{ij}$ que conduce al resultado deseado.