Por qué $f \mid V(m) \mid U(m) = f$ para la forma modular $f$ , donde $U, V$ son $U, V$ -¿operadores?

Question

Creo que esto tiene una respuesta fácil, pero estoy teniendo un pedo cerebral. Si tengo una forma modular $f = \sum_{n \gg -\infty} a(n)q^{n}$ y $U, V$ son los $U$ y $V$ -operadores: $$f \mid U(m) := \sum_{n} a(mn)q^{n},$$ $$f \mid V(m) := \sum_{n} a(n)q^{mn},$$ entonces por qué es cierto que $f \mid V(m) \mid U(m) = f$ ?

No lo haría $f \mid V(m) \mid U(m) = \sum_{n} a(mn)q^{mn} \neq \sum_{n} a(n)q^{n}$ ?

Answer 1

Escriba $$f \mid V(m) = a(0) + a(1)q^m + a(2)q^{2m} +... =\sum b(n)q^n $$ donde $b(n) = a(n/m)$ si $m \mid n$ y $b(n) = 0$ de lo contrario.

Entonces $$\left(\sum b(n)q^n \right)\mid U(m) = \sum b(mn)q^n = b(0) + b(m)q + b(2m)q^2 + ... = \sum a(n)q^n.$$