La propiedad Martingale no se puede mantener para tiempos aleatorios generales

Question

Dejemos que $\sigma \leq \tau$ sean dos tiempos aleatorios que sean sin tiempos de parada . Quiero crear un ejemplo sencillo que demuestre que para estos tiempos aleatorios $\mathbb{E}[M_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma] = M_\sigma$ no puede sostenerse.

Soy consciente de que la parada opcional no funciona para todos los tiempos de parada. Sin embargo, todo esto tiene que ver con los tiempos de parada. Estoy un poco confundido por los tiempos aleatorios. ¿Puede alguien proporcionar un ejemplo claro?

Answer 1

Tomemos un paseo aleatorio simétrico estándar. $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=\frac{1}{2}$ . Entonces $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ es una martingala.

Toma $\sigma = \{n\geq 0, S_n = \alpha\}$ que es un tiempo de parada. Y toma $\tau = \sigma +1$ que no es un tiempo de parada. Si \begin{align} \mathbb{E}[S_\tau \mid \mathcal{F}_\sigma] = S_\sigma. \end{align} Esto implicaría que \begin{align} \mathbb{E}[S_\tau] = \mathbb{E}[S_\sigma] = \ldots = \mathbb{E}[S_0] = 0. \end{align} Sin embargo, \begin{align} \mathbb{E}[S_\tau] = \frac{1}{2}(\alpha -1)+\frac{1}{2}(\alpha +1) = \alpha \neq 0 = \mathbb{E}[S_\sigma]. \end{align}