A Medida Rajchman en el círculo unitario $\mathbb{T}$ es una medida de probabilidad de Borel $\mu$ con $\lim_{n\to\infty}\hat{\mu}(n)=0$ . En el sitio web $\hat{\mu}(n)=\mu(z^n)$ para $n\in\mathbb{Z}$ son los coeficientes de Fourier de $\mu$ .
Supongamos que $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ es un sistema dinámico teórico de medidas que consiste en un espacio de medidas $(X,\mathcal{B},\mu)$ y un mapa invertible que preserva la medida $T:X\to X$ . Un sistema dinámico $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ se llama fuerte mezcla si $$\lim_{n\to\infty} \mu(T^{-n}A\cap B)=\mu(A)\mu(B)$$ para todos $A,B\in\mathcal{B}$ .
Denote el espacio $\{f\in L^2(X,\mu)|\int_X f\,d\mu=0\}$ por $L^2_0(X,\mu)$ . El sistema dinámico $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ es una mezcla fuerte si $$\lim_{n\to\infty}\int_X f(T^nx)\overline{f(x)}\,d\mu(x)=0$$ por cada unidad $f\in L^2_0(X,\mu)$ .
Por cada unidad $f\in L^2_0(X,\mu)$ se puede definir una medida de probabilidad de Borel $\mu_f$ en $\mathbb{T}$ por $$\widehat{\mu_f}(n)=\int_X f(T^nx)\overline{f(x)}\,d\mu(x).$$ Así que un sistema dinámico $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ es una mezcla fuerte si $\mu_f$ es una medida de Rajchman para cada unidad $f\in L^2_0(X,\mu)$ .
A través de la observación anterior, dado un sistema dinámico de mezcla fuerte $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ por ejemplo, el desplazamiento Bernoulli $(\{0,1\}^\mathbb{Z},\mathcal{B},S,\mu_p)$ donde $\mu_p$ es la medida del producto de la medida sobre $\{0,1\}$ dando $\{0\}$ medir $p$ y $\{1\}$ medir $1-p$ Cada uno de ellos $f\in L^2_0(X,\mu)$ da lugar a una medida de Rajchman en $\mathbb{T}$ .
Pregunta : Para qué sistema dinámico de mezcla fuerte $(X,\mathcal{B},T,\mu)$ se puede encontrar la unidad $f\in L^2_0(X,\mu)$ tal que $\mu_f$ ¿es una medida de Rajchman singular a la medida de Lebesgue?
