Supongamos $ f(x)$ que es infinitamente diferenciable en $[a,b]$.
Para cada $c\in[a,b] $ la serie $\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n $ es un polinomio.
¿Es cierto que $f(x)$ es un polinomio?
Puedo demostrar que es cierto si por cada $c\in [a,b]$, existe un vecindario $Uc$ de $c$, tal que
$$f(x)=\sum\limits{n=0}^\infty \cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n\quad\text{for every }x\in U_c,$$ pero, esta igualdad no siempre es cierta.
¿Qué puedo hacer cuando $f(x)\not=\sum\limits_{n=0}^\infty \cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n$?
