Evaluando

Question

Aunque sé que $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^{2}}{6}$ $

Pero tratando de evaluar esto ha dejado confundido %#% $ #%

Evalué a través alfa wolfram, me dio $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$.

¿Cuál sería una buena manera de empezar a evaluar esta serie?

Answer 1

Esta suma es más difícil, y tal vez menos natural, para encontrar que la suma de $\sum \frac{1}{n^2}$. Utilizamos la serie de Fourier de $e^{x}$ con respecto al $\{e^{i nx} / 2\pi\}$y aplicar el teorema de Parseval.

Tenga en cuenta que podemos usar este método de evaluación para determinar $\sum \frac{1}{n^2}$,! Hacemos lo mismo para la (simple) de la función de $f(x) = x$. También se podría evaluar directamente la serie de Fourier para $f(x) = (\pi - |x|)^2$ $(-\pi, \pi)$ $x = 0$ a la conclusión de la misma (esta función aso nos da la suma de $\sum \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$). (Fuente de estos ejemplos para Rudin Principios de Análisis Matemático)

Comenzamos por calcular el $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\pi}^{\pi} e^{2x} \, dx = \frac{e^{2\pi} - e^{-2\pi}}{2}$.

De pasar a los coeficientes de Fourier, tenemos $c_n = \displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} e^{-inx+x} \, dx = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\left( \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx)\,dx - i\int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin(nx)\,dx\right).$ la Integración de la primera integral con piezas de $f = \cos(nx)$ $e^x\,dx = dg$ obtenemos $$\left.e^x \cos(nx)\right|_{-\pi}^{\pi} + n\int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin(nx)\,dx$$

Integramos por partes de nuevo y combinar el resultado "términos semejantes" (integrales) para obtener $$(n^2+1) \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx) \, dx = e^x (\cos(nx) + n \sin(nx))|_{-\pi}^{\pi} = (-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi})$$

y por lo $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{\pi} - e^{-\pi}}{n^2 + 1}.$$

Del mismo modo, obtenemos $$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin(nx) \, dx = -\frac{n(-1)^n}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{\pi} - e^{-\pi}}{n^2 + 1}.$$

Por lo tanto $$|c_n|^2 = \frac{(e^\pi - e^{-\pi})^2 + n^2 (e^{\pi} - e^{-\pi})^2}{2\pi(n^2+1)^2} = \frac{1}{2\pi}\frac{(e^{\pi}-e^{-\pi})^2}{n^2+1}$$ since $|a+bi|^2 = a^2 + b^2$.

Poniendo todo junto, utilizando la fórmula de Parseval tenemos

\begin{align} \sum_{n=-\infty}^{\infty} |c_n|^2 &= \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx \\ \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{(e^\pi - e^{-\pi})^2}{n^2+1} &= \frac{e^{2\pi}-e^{-2\pi}}{2}\\ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} &= \pi\frac{e^{2\pi} - e^{-2\pi}}{(e^\pi - e^{-\pi})^2}\\ 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+ 1} &= \pi \frac{e^\pi + e^{-\pi}}{e^{\pi} - e^{-\pi}} - 1\\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} &= \frac{\pi \coth \pi - 1}{2} \end{align}

donde utilizamos $e^{2\pi} - e^{-2\pi} = (e^{\pi} - e^{-\pi})(e^{\pi}+e^{-\pi})$ $c_n = c_{-n}$ en la tercera línea.

Answer 2

Esto es relativamente sencillo si sabe la extensión de la serie $\cot(x)$ de cálculo:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{1+n^2}= \frac{-1}{2i}\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{i-n}+\frac{1}{i+n} \right) \\= -\frac{1}{2}-\frac{1}{2i}\sum_{n= -\infty}^\infty \frac{1}{i+n} \\ = -\frac{1}{2}+\frac{i\pi }{2}\cot(i\pi) \\ = -\frac{1}{2}+\frac{\pi }{2}\coth(\pi)$$

Answer 3

¿Por qué es ridículo ?

Es muy clásica, en particular para todas las series de la forma

$$\sum_{n=1}^{\infty} R(n) \ \ \text{where} \ \ R=P/Q \ \ \text{is a rational expression with} \ \ deg(Q)>deg(P)+1$$

Para casos individuales, usted puede encontrar astutas maneras para expresar su serie, por ejemplo, como una suma de Fourier, pero para una técnica general, usted necesita residuo de cálculo (parte de la compleja teoría de la función).

Véase el interesante papel http://www1.american.edu/academic.depts/cas/mathstat/People/kalman/pdffiles/Sixways.pdf .

Answer 4

Utilizando la serie de Fourier para la función $f$ define en $f(x) = e^{-k\lvert x\rvert}, x \in [-\pi, \pi]$ y $f(x)= f(x+2\pi)$ le permite encontrar la suma $$\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^2 + k^2}$% #% indicador # > 0 $ for any $x$.

Answer 5

Integrar la función de $f(z)=\frac{\text{cotan}(\pi z)}{z^2+1}$ alrededor de un círculo con un radio de $R>1$ centrada en el origen y se denota por a $\gamma_R$. Según Cauchy teorema de esta integral es igual a la suma de los residuos contenidos dentro de este contorno. Tenemos

$$\oint_{\gamma_R}f(z)dz$=2\pi i\sum_{n>R}^{n<R}\text{Res}(f(z),z=z_n)+2\pi i(\text{Res}(f(z),z=i)+\text{Res}(f(z),z=-i))$$

donde $z_n=n$ son simple polos de $\text{cotan}(\pi z)$. Debido a que la función cotangente es apartó desde el eje real me podría tomar el límite de $R \rightarrow\infty$ y el conjunto de la integral de contorno a cero (este paso puede ser más rigerous), porque se está produciendo una contribución $\sim C R^{-1}$ para algunas constantes $C$. Terminamos , el uso explícito de los resultados de los residuos en $z=\pm i$, con

$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Res}(f(z),z=z_n)=\text{Res}(f(z),z=i)+\text{Res}(f(z),z=-i)=\text{cotanh}(\pi z) $$

utilizando además (esto es fácil de calcular porque los polos son simples) $\text{Res}(f(z),z=z_n)=\frac{1}{\pi(n^2+1)}$ vemos que

$$ \sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}=\pi\text{cotanh}(\pi z) $$

que es equivalente a la indicada resultado mediante el uso de $\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=2\sum_{n=1}^{\infty}f(n)+f(0)$ $f(n)$ incluso.