Tenga en cuenta que el techo cambia cuando su argumento pasa por un número entero. Esto ocurre cuando la variable uniforme pasa por $1/n$ para algunos $n$ . El techo será $n$ cuando la variable uniforme está entre $1/n$ y $1/(n-1)$ . La longitud de este intervalo es $\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=\frac{1}{n(n-1)}$ y la probabilidad de que una variable aleatoria uniforme en (0,1) se encuentre en algún subintervalo de (0,1) es la longitud de ese intervalo.
Así que la variable aleatoria global dentro de la expectativa allí es igual a $\frac{1}{(n-2)!}$ con probabilidad $\frac{1}{n(n-1)}$ , para $n=2,3,\dots$ . Por tanto, la fórmula de la expectativa es
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)(n-2)!}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n!}.$$
Esta es la famosa serie Maclaurin para $e$ excepto que faltan los dos primeros términos, que suman $2$ .
Por cierto, esta es una forma bastante terrible de aproximar $e$ En mi máquina, unas pocas ejecuciones con 100.000 simulaciones cada una dieron una precisión de aproximadamente $10^{-3}$ . Dada la escala de precisión de Monte Carlo (el error es esencialmente proporcional a $n^{-1/2}$ ), esto significa que debe esperar necesitar del orden de $10^{16}$ simulaciones para obtener una precisión de $10^{-9}$ . Sin embargo, sólo se necesitan 13 términos de la propia suma para lograr esta precisión.
