Error de truncamiento de un método de integración

Question

He leído que el error de truncamiento local de un método de orden $p$ es $O(h^{p+1})$ (por tanto, un orden superior). Sin embargo, el error de truncamiento global es en general $O(h^p)$ para un método estable (por tanto, un orden inferior al error local). ¿Pero por qué?

Si el error de truncamiento global es la acumulación del error de truncamiento local en todos los pasos $h$ ¿No debería estar todavía en orden? $p+1$ ?

Answer 1

Para un intervalo fijo de integración, el número de pasos es $O(h^{-1})$ . El error global es el error local multiplicado por el número de pasos. Por lo tanto, si $e_i$ es el error en el paso $i$ y $E$ es el error global, y estamos integrando sobre un intervalo de longitud $L$ , de manera informal lo hemos hecho:

$$ e_i = O(h^{p+1}) \Leftrightarrow |e_i| \le Ch^{p+1} $$

$$ |E| = \left| \sum_{i=1}^{\lfloor L/h \rfloor}e_i \right| \le \sum_{i=1}^{\lfloor L/h \rfloor}Ch^{p+1} \le CLh^p \Leftrightarrow E = O(h^p) $$