¿Por qué el límite se puede mover dentro del logaritmo en $2 \lim_{x \to 0} \left[ \ln \frac{\sin x}{x} \right]$ ?

Question

Considere el siguiente límite:

$$ \lim_{x \to 0} \left[ \ln \left( 1-(\cos x)^2 \right) - \ln x^2 \right] $$

Mi solución es la siguiente:

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \left[ \ln \left( 1-(\cos x)^2 \right) - \ln x^2 \right] &= 2 \lim_{x \to 0} \left[ \ln \left( \sin x \right) - \ln x \right] = \\ &= 2 \lim_{x \to 0} \left[ \ln \frac{\sin x}{x} \right] \end{aligned} $$

En esta parte, 'moví el límite dentro $\ln(\cdot)$ ' para obtener

$$ [\dotsb]= 2 \ln \left( \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sin x}{x} \right] \right) = 2 \ln 1 = \boxed{0} $$

(ya que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ )

¿Es eso "válido"? ¿pero? Sé que este método sólo es correcto cuando la función es continua. Bien, $\ln x$ sólo es continua para $x>0$ y estamos tomando el límite en $x=0$ .

Answer 1

Ya veo de dónde viene la confusión. En términos generales, el teorema es:

$$\text{if }\,L = \lim_{x \to a} g(x)$$

y $f$ es continua en $L$ entonces $$\lim_{x \to a} (f \ \circ \,g)(x) = f\left(L\right) = f\left(\lim_{x \to a}g(x)\right)$$

$ \\ $

Así que $f$ no tiene que ser continua en $a$ para aplicar este teorema, sólo $L.\,(\,1$ en este caso $)$

Answer 2

La secuencia a la que estás aplicando el logaritmo (es decir, $\sin(x)/x$ ) converge a $1$ no $0$ (por Teorema de l'Hospital ), por lo que la continuidad del logaritmo hace válida su solución.