¿Diferenciable en un espacio vectorial normado?

Question

No estoy seguro de haber probado esto correctamente.

Dejemos que $X$ y todos $Y_i$ sean espacios vectoriales normados y $Y_i = Y_1 \times... \times Y_n$ .

$\pi _i$ es la proyección canónica de $Y$ a $Y_i$

Mostrar para todos $a \in X, k\in \mathbb N\quad \text{&} \quad f:X \longrightarrow Y $

$$\text{f is $ k $-times differentiable in a} \Longleftrightarrow \pi_i \circ f \quad \text{is $ k $-times differentiable in a for all $ i $} $$

" $\Longrightarrow $ " es fácil

" $\Longleftarrow$ " $\pi_i \circ f $ k veces diferenciable $\Rightarrow \bigcup\limits_{i} f^{-1}(\pi_i^{-1}(y_i)) = f^{-1}(\bigcup\limits_{i}\pi_i^{-1}(y_i)) = f^{-1}(Y) = X \Rightarrow f \quad \text{k-times differentiable}$

Answer 1

Sugerencia: Por inducción en $k$ WLOG puede suponer $k=1$ . Dejemos que $a \in X$ y el mapa lineal $g_i \in L(X, Y_{i} )$ es la derivada de $\pi_i \circ f : X \to Y_i$ en el punto $x=a,$

Ahora demuestre que el mapa lineal $T(x) = (g_1 (x), g_2 (x), ..., g_n(x)) \in L(X, Y) $ es la derivada de $f$ en el punto $x=a$