Si entiendo la pregunta, la respuesta corta es "sí, se pueden adjuntar libre y funcionalmente productos infinitos a los monoides". La idea básica es que las teorías algebraicas pueden acomodar arities arbitrarias (limitadas por encima de algún cardinal), y se pueden discutir adjunciones relativas libres y funcionales entre categorías de álgebras con gran generalidad.
En un primer momento, permítanme centrarme en los aspectos puramente monoides por ahora, porque son más fáciles de visualizar. Una vez que la historia para eso está clara, uno puede trabajar en los inversos.
Como calentamiento, recordemos que una forma de definir un monoide ordinario $M$ es como un álgebra de la operada terminal no permutativa. En términos más sencillos, esto significa que una sola operación
$$\mu_n: M^n \to M$$
para cada ordinal finito $n$ para que
$$\mu_{n_1 + \ldots + n_k} = \mu_k(\mu_{n_1} \times \ldots \times \mu_{n_k})$$
(ecuación de asociatividad generalizada).
Ahora vamos a generalizar las operadas para permitir operaciones de aridad contablemente infinita. Por "aridades", me referiré realmente a los ordinales contables. Dado un ordinal $k \lt \aleph_1$ y los ordinales $n_j \lt \aleph_1$ para $j \lt k$ se puede concatenar el $n_j$ para obtener un nuevo ordinal $\sum_j n_j \lt \aleph_1$ . La concatenación es asociativa en un sentido evidente. Ahora definamos un $\omega$ -monoide para ser un conjunto $M$ equipado con operaciones
$$\mu_k: \hom(k, M) \to M,$$
uno para cada $k \lt \aleph_1$ , de tal manera que $\mu_{\sum_j n_j} = \mu_k (\prod_j \mu_{n_j})$ . (No estoy completamente seguro de que tengamos que llegar hasta $\aleph_1$ pero si no es así será algún segmento inicial adecuado. Digamos que $\aleph_1$ por ahora). Esta condición puede interpretarse en cualquier categoría con productos contables, como $Set$ .
El libre $\omega$ -monoide en un conjunto $X$ será $\sum_{k \lt \aleph_1} \hom(k, X)$ . Obtenemos así una mónada $T$ para una adición libre y olvidadiza entre $\omega$ -monoides y conjuntos.
Hay una tontería general que dice que para cualquier morfismo de mónadas $\phi: S \to T$ en $Set$ hay un functor de olvido $Alg_T \to Alg_S$ y este funtor de olvido tiene un adjunto izquierdo. Esto se deduce de un teorema del funtor adjunto, aunque si no me equivoco, en este escenario particular se dispone de una construcción más directa: si $S$ es la mónada de los monoides ordinarios y $T$ es como la anterior, la inclusión evidente $S \to T$ induce un functor de olvido
$$\omega-Mon \to Mon$$
que tiene un adjunto izquierdo $L$ descrito por el tipo de coequalizador familiar de los productos tensoriales:
$$L(M) = coeq((\mu_T \circ \phi) M, T\theta: TSM \stackrel{\to}{\to} T M)$$
donde $\mu_T: TT \to T$ es la multiplicación de mónadas y $\theta: S M \to M$ es la estructura de $M$ como $S$ -de la álgebra. Este adjunto izquierdo $L$ correspondería a lo que creo que estabas pidiendo con "colimits libremente contiguos", y el adjunto izquierdo significa que efectivamente tenemos una construcción functorial.
Si quieres trabajar con las inversas, también puedes hacerlo. Resumiendo: para cualquier conjunto de símbolos de operaciones formales de aridad arbitraria, sujeto a cualquier conjunto de ecuaciones bien formadas que te apetezca, puedes formar una mónada cuyas álgebras son precisamente los modelos de la teoría algebraica correspondiente. Así que: junto con las operaciones de aridad contable como las anteriores, sujetas a ecuaciones de asociatividad generalizadas, se puede ciertamente incluir también una operación de inversión unaria. Te dejo decidir cuáles son, además de la asociatividad, las ecuaciones sensatas que hay que imponer a la inversión $i$ pero me parece que podría imponer sólo
$$\mu_2(id \times i) = id = \mu_2(i \times id)$$
y se detiene allí. (Las operaciones que implican infinitas instancias de inversión siguen siendo admisibles, pero las ecuaciones sólo obligarían a realizar un número finito de cancelaciones a la vez). Se obtiene así una mónada para " $\omega$ -grupos", y de nuevo el functor olvidadizo de $\omega$ -a grupos admite un adjunto izquierdo, construido de forma análoga a la anterior.
