el mapeo lineal es un mapeo abierto en espacios vectoriales

Question

Dejemos que $(N,\|\; \|)$ y $(N_1, \|\;\|_1)$ sean espacios vectoriales normados y $f$ una cartografía lineal de $N$ en $N_1$ . Demostrar que $f$ es un mapeo abierto si y sólo si para cada $n \in \mathbb{N}$ , $f(B_{\frac{1}{n}}(0)) \supseteq B_r (0)$ para algunos $r>0$

Podría probar $\Rightarrow$ pero no pude demostrar lo contrario. Supongo que tengo que demostrar que $f(B_{\frac{1}{n}}(0))$ está abierto en $N_1$ . $f(B_{\frac{1}{n}}(0)) \supseteq B_r (0)$ sólo está mostrando que hay algunos balones abiertos en el interior $f(B_{\frac{1}{n}}(0))$ . Creo que esto no significa necesariamente que $f(B_{\frac{1}{n}}(0))$ está abierto.. ¿Cómo debo abordar este problema?

Answer 1

SUGERENCIA:

Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $N$ y $x\in U.$ Entonces existe $\epsilon>0$ s. th. $U\supseteq B_{\epsilon}(x)$ .
Ahora usa $f(U)\supseteq f(B_{\epsilon}(x))=f(x)+\epsilon f(B_{1}(0)) $ y su suposición para concluir
que hay una bola abierta alrededor $f(x)$ que se encuentra totalmente en $f(U)$ .