Podemos evaluar el límite de varias maneras. Aquí presentamos tres enfoques.
METODOLOGÍA $1$ : Aplicar las desigualdades estándar y el teorema de la compresión
PRIMER:
En ESTA RESPUESTA, demostré usando sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que la función exponencial y la función logarítmica satisfacen las desigualdades
$$1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x} \tag 1$$
para $x<1$ y
$$\frac{x-1}{x}\le \log(x)\le x-1 \tag 2$$
para $x>0$ .
Primero escribimos
$$\begin{align} (n+1)^\alpha-n^\alpha&=e^{\alpha\log(n)}\left(e^{\alpha \log\left(1+\frac1n\right)}-1\right)\tag3 \end{align}$$
A continuación, utilizamos $(1)$ y $(2)$ en $(3)$ para obtener
$$\frac{\alpha n^{\alpha-1}}{1+1/n}\le (n+1)^\alpha-n^\alpha\le \frac{\alpha n^{\alpha-1}}{1-\alpha/n}\tag 4$$
con lo que aplicando el teorema de la compresión a $(4)$ revela
$$\begin{align} \lim_{n\to \infty }\left((n+1)^\alpha-n^\alpha\right)&= \begin{cases}\infty&,1<\alpha<3/2\\\\ 1&,1=\alpha\\\\ 0&\alpha<1 \end{cases} \end{align}$$
METODOLOGÍA $2$ : Análisis asintótico
Aquí, ampliamos $(n+1)^\alpha$ utilizando el teorema general del binomio para encontrar
$$\begin{align} (n+1)^\alpha-n^\alpha&=n^\alpha\left(\left(1+\frac1n\right)^\alpha-1\right)\\\\ &=n^\alpha\left(\left(1+\frac\alpha n+O\left(\frac1{n^2}\right)\right)-1\right)\\\\ &=\alpha n^{\alpha -1}\\\\ &\to \begin{cases}\infty&,1<\alpha<3/2\\\\ 1&,1=\alpha\\\\ 0&\alpha<1 \end{cases} \end{align}$$
¡como se esperaba!
METODOLOGÍA $3$ : Aplicar el teorema del valor medio
Finalmente, aplicando el teorema del valor medio a la función $f(x)=x^\alpha$ produce
$$(x+1)^\alpha-x^\alpha=\alpha \xi^{\alpha-1}$$
para $x<\xi<x+1$ . Dejar $x\to \infty$ , volvemos a encontrar que
$$\begin{align} \lim_{x\to \infty}\left((x+1)^\alpha-x^\alpha\right)&= \begin{cases}\infty&,1<\alpha<3/2\\\\ 1&,1=\alpha\\\\ 0&\alpha<1 \end{cases} \end{align}$$
¡como se esperaba!
