Cómo calcular $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Question

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

Mi idea es utilizar el límite del número de euler, pero creo que el libro "quiere" que lo calcule con el siguiente lema:

Si f es dos veces derivada en el intervalo I, con $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ está en el medio $a$ y $x$ . En particular, $\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

Otra cosa en la que estoy pensando es:

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

¿Estoy yendo por el camino equivocado?

Answer 1

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$

Answer 2

Desde $\sin(x)\le x$ para todos los reales positivos $x$ :

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

donde

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ Por lo tanto,

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

y su límite se deduce del teorema del apretón.