Conjetura del divisor cero

Question

Dejemos que $K$ sea un campo y $G$ sea un grupo. Entonces $K[G]$ es un dominio si $G$ es libre de torsión. Sé que " $\Leftarrow$ "se conjetura que siempre es cierto. ¿Pero qué pasa con la otra dirección?

Answer 1

Supongamos que $G$ es no sin torsión y $g\in G$ tiene orden $n$ para algún número entero $n>1$ . Sabemos que $g^n=e$ y:

$(e-g)(e+g+\dots+g^{n-1})=e-g^n=0$

así que $K[G]$ es no un dominio. (Supongo que el objetivo de la conjetura es saber si éste es o no el único ejemplo general de divisores de cero en el anillo de grupo).

Espero que esto ayude.