Ejemplo de un espacio no localmente compacto con un subespacio denso localmente compacto.

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico tal que $A \subset X$ es un subespacio denso que es localmente compacto y $B \subset X$ es un subespacio denso que no es localmente compacto (en todos sus puntos).

¿Es posible encontrar tal $X$ ? si lo es, ¿un ejemplo?

Answer 1

1)Si $X$ debe ser Hausdorff, toma $X=\mathbb{R}$ , $A=X-\{0\}$ , $B=\mathbb{Q}$ .

2)Si $X$ debe ser un espacio de Hausdorff no localmente compacto, y que $Y=\{1/n|n\in \mathbb{N}^*\}$ y $X=(\{0\}\times \mathbb{Q}) \cup (Y\times \mathbb{R})$ , $X$ no es localmente compacto en el punto $(0,0)$ .

Dejemos que $A=Y\times \mathbb{R}$ , $A$ es denso en $X$ y es localmente compacto.

Dejemos que $B=Y \times \mathbb{Q}$ , $B$ es denso en $X$ y $B$ no es localmente compacto en todos sus puntos.

Answer 2

Sigue habiendo cierta imprecisión en la forma en que has formulado la pregunta, pero aquí tienes un espacio no localmente compacto con un subconjunto denso localmente compacto, de hecho compacto. Simplemente tome su espacio no localmente compacto favorito $X$ y construir $X'$ mediante la unión de un punto genérico $\star$ modificando la topología añadiendo $\star$ a todos los conjuntos abiertos, incluido el conjunto vacío (¡por supuesto, debemos volver a añadir el conjunto vacío!)

Entonces el cierre de $\{\star\}$ es $X'$ pero, al ser finito, $\{\star\}$ es compacto. Por otro lado, $X'$ todavía no es localmente compacta en ninguno de los puntos en los que $X$ no lo era, porque $X$ es cerrado y los subespacios cerrados de los espacios localmente compactos son localmente compactos.