Sea $a x^2 + b x +c =0$ una ecuación cuadrática donde $|a|> |a+b+c| $, $a,b,c \in \mathbb{R}$. Demuestra que esta ecuación tiene al menos una solución $ z \in \mathbb{C}$ tal que $|z| < 2$.
No sé cómo demostrar esto, noté que $|a+b+c | = |f(1)|$, entonces $|a|> |f(1)|$, pero no estoy seguro de si eso ayuda. Además, $|z|= \frac{b^2}{4a^2} + \frac{ 4ac - b^2}{4 a^2} <4\implies a c <4 a^2 $. ¿Alguien puede ayudar? Estaría muy agradecido.
Si ambas raíces $s,t$ son reales entonces tenemos $a(x-s)(x-t)=ax^2-a(s+t)x+ast=0$. Ahora $$|a|>|a-a(s+t)+ast|\implies1>|1-s-t+st|=|(1-s)(1-t)|.$$ Claramente $|s|$ y $|t|$ no pueden ser ambos mayores que $2$. El caso de raíz doble es directo.
Si ambas raíces $s=u+iv$ y $t=u-iv$ son complejas tenemos $$a(x-(u+iv))(x-(u-iv))=ax^2-2aux+a(u^2+v^2)=0.$$ Ahora $$|a|>|a-2au+a(u^2+v^2)|\implies1>|1-2u+(u^2+v^2)|.$$ Si $|s|$ (y por lo tanto $|t|$) son mayores que $2$ entonces $u^2+v^2>4$. ¿Puedes continuar?
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
