He estado leyendo el libro Ecuaciones funcionales y cómo resolverlas por Christopher G. Small. En el capítulo 2 la primera sección sobre la ecuación de Cauchy $f(x+y) = f(x)+f(y)$ tiene un teorema que dice lo siguiente
Dejemos que $f : \Bbb R \Bbb R$ satisfacen la ecuación de Cauchy. Supongamos además que existe algún intervalo $[c,d]$ de números reales, > donde $c<d$ , de tal manera que $f$ está acotado por debajo en $[c,d]$ . En otras palabras, existe un número real $A$ tal que $f(x) A$ para todos $c x d$ . Entonces existe un número real $a$ tal que $f(x) = ax$ para todos los números reales $x$ .
Aquí no se asume la continuidad. En los ejercicios, el problema 2 se supone que te lleva a la demostración de este teorema. Sin embargo, el problema dice :
Este problema pide al lector que complete los detalles de la demostración del Teorema 2.4, arriba. Sea $f :\Bbb R \Bbb R$ sea una función continua que satisfaga la ecuación de Cauchy de Cauchy. Supongamos además que existe algún intervalo $[c, d]$ de números reales números reales, donde $c<d$ , de tal manera que $f$ está acotado por debajo en $[c, d]$ . a) Demuestre que $f(nx) = nf(x)$ para todos los reales $x$ . b) Definir $p = d c$ . Demostrar que $f$ está acotado por debajo en el intervalo $[0, p]$ . (Sin embargo, no es necesario que esté limitado por debajo por la misma constante que en el intervalo $[c, d]$ .) c).......
Mi confusión aquí es el hecho de que el problema dice $f$ se supone que es continua a diferencia del teorema actual también yendo por esa lógica la parte b de este problema es casi trivial ya que solo tengo que decir que una función continua en un intervalo cerrado y acotado debe estar acotada por debajo. Pero entonces parece que la otra suposición dada en este problema de que la función está acotada en $[c,d]$ es completamente redundante, así que debe haber algo que se me escapa, pero no encuentro la forma de demostrar la parte b si no se ha dado la continuidad.
Así que para reducirlo a lo importante, mi pregunta es cómo probar b si $f$ no se ha dicho que sea continua, sino que se ha dado la suposición de que está acotada.
Gracias de antemano
