Cómo demostrar límite superior de suma de cuadrados

Question

Estaba preguntándome si alguien sabía cómo probar la siguiente desigualdad:

$$\sum_{i=1}^N a_i^2 \leq 4\sum_{i=1}^N \left( \sum_{j=1}^i a_j \right)^2$$

donde $(a_i)_{1\leq i\leq N}$ es una secuencia de números reales.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Sea $A_0=0$ y $A_i=\sum_{j=1}^{i}a_i$. Entonces la desigualdad puede escribirse como:

$$\sum_{i=1}^{N}(A_i-A_{i-1})^2 \leq 4 \sum_{i=1}^{N} A_i^2 $$ o como: $$ 2 \sum_{i=1}^{N} A_i^2 + A_N^2 + 2\sum_{i=1}^{N}A_i A_{i-1}\geq 0$$ que se sigue de la trivial: $$ \sum_{i=i}^{N}(A_i+A_{i-1})^2 \geq 0.$$