Sea Z ∼ N(0,1). Encontrar la función de densidad de probabilidad de |Z|

Question

Así que puedo encontrar fácilmente el pdf para la normal estándar (aunque es demasiado complicado para escribirlo aquí), pero ¿cómo cambiaría el signo del valor absoluto el resultado?

Answer 1

Dejemos que $W=|Z|$ . Encontramos la función de distribución acumulativa $F_W(w)$ de $W$ y luego diferenciar para encontrar la función de densidad $f_W(w)$ .

Primero hay que tener en cuenta que si $w\lt 0$ entonces $F_W(w)=0$ . Así que si $w\lt 0$ entonces $f_W(w)=0$ .

Ahora dejemos que $w\gt 0$ . Tenemos $$F_W(w)=\Pr(|Z|\le w)=2\Pr(0\le Z\le w)=2\int_0^w f_Z(z)\,dz,$$ donde $f_Z(z)$ es la función de densidad de $Z$ que también me parece demasiado complicado de escribir.

Diferenciar $F_W(w)$ utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo. Obtenemos que para $w\gt 0$ , $f_W(w)=2f_Z(w)$ .