Convergencia/Divergencia de series complejas $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n(2+i)^n}{2^n}$

Question

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n(2+i)^n}{2^n}$$

Mi intento : Soy nuevo en el análisis de series complejas, así que disculpadme de antemano. Aplico la prueba de la proporción:

$$\lim_{n \to \infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \lim_{n \to \infty}\frac{|(n+1)(2+i)^{n+1}2^n|}{|2^{n+1}n \ (2+i)^n|} = \lim_{n \to \infty} |\frac{n+1}{2n}(2+i)| = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} |2+i|$$

Sé que $|z| = |a + bi|$ puede expresarse como $\sqrt{a^2+b^2}$ Por lo tanto:

$$\frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \sqrt{5} > 1$$ Por la prueba de la proporción, esto hace que las series sean divergentes. ¿Es correcto este enfoque?

Answer 1

Su enfoque es bueno. Alternativamente puedes resolverlo a través de la prueba de la raíz. Uno tiene que \begin{align*} |a_{n}| = \left|\frac{n(2+i)^{n}}{2^{n}}\right| = n\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \Longrightarrow \limsup_{n\to\infty}|a_{n}|^{1/n} = \limsup_{n\to\infty}n^{1/n}\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right) = \frac{\sqrt{5}}{2} > 1 \end{align*}

Así, la serie dada diverge.

Espero que esto ayude.

Answer 2

La prueba de la proporción afirma que cuando $\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|<1$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ converge absolutamente y cuando $\lim_{n\to\infty} |\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|>1$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ diverge. Como $\frac{\sqrt{5}}{2}>1$ la serie diverge.

Answer 3

Tenga en cuenta que $|z|\ge |\Re(z)|$ y así $$ \left|n \left(\frac{2+i}{2}\right)^n\right|=n \frac{|2+i|^n}{2^n}\ge n \frac{|\Re(2+i)|^n}{2^n}=n, $$ por lo que la serie no pasa la prueba de divergencia.