¿Por que $p \in \mathbb{R}_{>0}$ hace el integral $\int_{[0,1]^n} \frac{\mathrm dx}{(x_1^p+2x_2^p + ... + nx_n^p)^{1/3}}$ convergen?

Question

Quiero saber para que $p \in \mathbb{R}_{>0}$ integral

$$\int_{[0,1]^n} \frac{\mathrm d x}{(x_1^p+2x_2^p + ... + nx_n^p)^{1/3}}$$

converge. Para ser honesto, no tengo idea alguna de cómo hacerlo. He calculado la integral para $n=1$ $n=2$ y la encontré existentes para $p < 3n$ hasta la fecha. Pero Mathematica tarda una eternidad para el cálculo de la integral para $n=3$, así que creo que tengo que encontrar una manera inteligente para comprobar si mi suposición es correcta.

Puede alguien darme una pequeña pista, por lo que puedo proceder? El problema es que nunca hemos hecho estas cosas antes durante las clases o en los ejercicios, así que realmente no sé por dónde empezar.

Gracias de antemano.

Answer 1

Este es defender un método fácil que conduce a la respuesta sin detenerse en detalles irrelevantes de la pregunta. En primer lugar, la sustitución de cada una de las $x_i^p$$|x_i|^p$, uno ve que es equivalente a pedir el comportamiento de la integral sobre la $[-1,1]^n$, es decir, por el comportamiento de la integral alrededor del punto de $x=0$. Segundo, dado que todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes, se puede reemplazar el denominador por $\|x\|^{p/3}$ por cada norma $\|\ \|$, sin cambiar la convergencia o divergencia. Elegir la norma Euclídea y escribir $\|x\|=r$. Por cualquier esférico del cambio de variables, $\mathrm{d}x$ $r^{n-1}\mathrm{d}r$ veces un elemento infinitesimal que implica el esférico coordenadas de $x/\|x\|$. Esto reduce la cuestión a la conducta en $r=0^+$ de la integral $$ \int_0 \frac{r^{n-1}\mathrm{d}r}{r^{p/3}}. $$ Por lo tanto, no hay convergencia si y sólo si $n-1-p/3>-1$, es decir, si y sólo si $p<3n$ (como el OP notado al$n=1$$n=2$).

Answer 2

Un límite superior de $p$ sigue de esta desigualdad:

$$\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p} for \sum w_i = 1.$$

Que $w_i = i/c$ y $c=n(n+1)/2$ y tenemos

$$\prod_{i=1}^nx_i^{i/c} \leq \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n (i/c) x_i^p}$$

y

$$\frac{1}{ \sqrt[p]{\sum_{i=1}^n i x_i^p} } \leq \frac{1}{ \sqrt[p]{c} \prod_{i=1}^nx_i^{i/c} } \equiv \frac{1}{\sqrt[p]{c} } \prod_{i=1}^n x_i^{-i/c}$$