Para facilitar la notación, escribiré $z, x, y$ en lugar de $dz, dx, dy.$ Además, todo esto se reduce al álgebra lineal, así que trabajaré con un espacio vectorial real $V$ con un producto interno y una estructura compleja compatible $J$ donde $y_i = J(x_i)$ . Supongamos además que el $x_i$ y $y_i$ son ortogonales. Recordemos que el producto interior sobre $V$ se extiende a $\bigwedge^k V$ declaramos que los monomios en el $x$ y $y$ de longitud $k$ son ortonormales. Conjunto $z_j = x_j + i y_j$ .
Llamaré a un $(p,q)$ formar un monomio si es de la forma $z_I \wedge \bar{z}_J$ . A menudo omitiré los símbolos del producto de la cuña y escribiré $z_I \bar z_J$ .
Voy a registrar algunas observaciones:
Lema $1$ . $\bar\ast$ toma complejos $k$ -forma en $(n-k)$ -formas.
Prueba Esta es la (conjugada) de la complejización de la estrella real de Hodge, que tiene esta misma propiedad.
Lema $2$ . $\bar\ast(z_I\bar{z}_J) = b z_{I^c} \bar{z}_{J^c}$ donde $I^c$ es el conjunto complementario de índices, y $b$ es una constante no nula.
Prueba. Diga $z_I \bar{z}_J$ es un $(p,q)$ -forma. Escriba $\bar\ast (z_I \bar{z}_J) = \sum_{K,L} b_{K,L} z_K\bar{z}_L$ , donde $|K| + |L| = 2n-(p+q)$ (esto utiliza implícitamente el lema $1$ para acertar con los tamaños de los multiíndices). Como $z_I\bar{z}_J \wedge \bar\ast(z_I\bar{z}_J) = ||z_I \bar{z}_J||^2 \cdot \text{vol}$ observamos que $\sum_{K,L} b_{K,L} z_I\bar{z}_J z_K\bar{z}_L$ debe ser igual a un múltiplo positivo de la forma del volumen. Pero $z_I \bar{z}_J z_K\bar{z}_L=0$ a menos que $K= I^c$ y $L=J^c$ . Puedes pensar por qué este último paso es cierto; el razonamiento debería ser moralmente que habrá más de $n$ $z$ o más de $n$ $\bar{z}$ 's, matando el producto $z_I \bar{z}_Jz_K\bar{z}_L$ . La constante $b := b_{I^c, J^c}$ es distinto de cero porque necesitamos tener $$ b z_I\bar{z}_J z_{I^c}\bar{z}_{J^c} = ||z_I\bar{z}_J||^2 \cdot \text{vol} \neq 0. $$
Informática $\bar\ast\alpha$ para $\alpha = z_2\bar{z}_1\bar{z}_4$ por el lema $2$ ya sabemos que $$ \bar\ast\alpha = b \cdot z_1 z_3 z_4 \bar{z}_2\bar{z}_3, $$ y sólo queda calcular el valor de $b$ . Necesitaremos $||\alpha||$ por esto.
Ampliar $\alpha$ en $x$ y $y$ 's: $$\alpha = z_2\bar{z}_1\bar{z}_4 = x_2x_1x_4 -i x_2y_1x_4 + i y_2x_1x_4 + y_2y_1y_4 -ix_2x_1y_4 - x_2y_1y_4 + y_2x_1y_4 - iy_2y_1y_4.$$ Dado que estos monomios en $x$ y $y$ son todos orto normal y distintos, podemos ver que $||\alpha||^2 = 8$ .
Así que, $$ z_2 \bar{z}_1 \bar{z}_4 \wedge b z_1 z_3 z_4\bar{z}_2\bar{z}_3 = 8 \cdot \text{vol}. $$ A continuación, puede comprobar que $$ z_2 \bar{z}_1 \bar{z}_4 z_1 z_3 z_4\bar{z}_2\bar{z}_3 = - z_1\bar{z}_1z_2\bar{z}_2 z_3\bar{z}_3z_4\bar{z}_4 = -\left(\frac{2}{i}\right)^4 \cdot \text{vol} $$ y así encontramos que $$ -b \left(\frac{2}{i}\right)^4 = 8, $$ o $b=-\frac{1}{2}$ . Por lo tanto, $$ \bar\ast(z_2\bar{z}_1\bar{z}_4) = -\frac{1}{2} z_1z_3z_4\bar{z}_2\bar{z}_3. $$
Su segunda pregunta: no. Si $\alpha = z_I \bar{z}_J$ entonces $\bar{\alpha} = \bar{z}_I z_J \neq z_J \bar{z}_I$ en general. Tendrías que calcular el número de permutaciones necesarias y contar el número correcto de signos.
Implícitamente he respondido a su última pregunta más arriba, pero lo diré claramente aquí: usted permuta $dz$ y $d\bar{z}$ 's como ordinario $1$ -formas, por lo que $$ dz_1 \wedge d\bar{z}_3 \wedge d z_2 = - dz_1 \wedge dz_2 \wedge d\bar{z}_3. $$
