En $a \leq b + c $ implica $a^2 \leq (b+c)^2 + (b-c)^2$ ?

Question

Givens $$ a \leq b + c $$ o $$ a^2 \leq b^2 + c^2+2bc $$ ¿Podemos probarlo? $$ a^2 \leq (b+c)^2 + (b-c)^2 = 2b^2 + 2c^2 $$

Answer 1

Si

$$a^2 \leq b^2+c^2 + 2bc= (b+c)^2,$$

entonces

$$a^2 \leq (b+c)^2 + (b-c)^2$$

como $(b-c)^2 \geq 0$ .

Answer 2

$$(b-c)^2\geq0$$

por lo tanto $$b^2+c^2\geq 2bc$$

Por lo tanto, $$2b^2+2c^2\geq b^2+c^2+2bc\geq a^2$$

Pero el problema es que la primera desigualdad $b+c\geq a$ no nos dice si $a$ es no negativo. Es posible que $b+c\geq a$ pero $a$ es muy negativo como $a=-\sqrt{(b^2+c^2)+1}$ , mientras que $b,c\geq0$ . Entonces $b+c\geq0\geq a$ pero $a^2=b^2+c^2+1>b^2+c^2$ .

Answer 3

Suponiendo que $a\geq0$ es fácil ver que $a\leq b+c$ significa también que $a^2\leq (b+c)^2$ . Su desigualdad se deduce de la suma de los términos positivos $(b-c)^2$ .

Si $a<0$ No puedes decir nada...

Editar para actualizar la pregunta :

Su segunda condición $a^2\leq b^2+c^2 + 2bc$ ya es suficiente para demostrar la relación final, ya que $b^2+c^2+2bc = (b+c)^2$ . Combine esto con $(b-c)^2\geq 0$ y ya está.