¿Puede el producto semidirecto de dos grupos abelian grupo?

Question

mientras yo estaba trabajando a través de los ejemplos de semidirect productos de Dummit y Foote, pensé que era posible demostrar que cualquier semdirect producto de dos grupos no puede ser abelian si el esta semidirect producto no es el producto directo.

Aquí está mi idea simple:

Supongamos $H,K$ son los dos grupos y $H\rtimes K$ ser el semidirect producto de $H$$K$. Deje $f:K \rightarrow Aut(H)$ ser nuestro homomorphism de $K$ a $Aut(H)$, ahora sabemos que $H \unlhd H\rtimes K$, pero no necesariamente $K$.

Si $H\rtimes K$ es abelian, luego cada subgrupo es normal, por lo $K$ debe ser normal, pero si $K$ es normal, a continuación, $f$ es la trivial homomorphism y así la semidirect producto se convierte en el producto directo, por lo que el semdidirect producto en este caso es el producto directo, lo cual es una contradicción ya que se supone que esta semidirect producto de $H,K$ no es su producto directo.

¿Es esto cierto? O he cometido un error y que existe un contraejemplo?

Answer 1

Estás en lo correcto. Un semi-producto directo de la $H$ $K$ es abelian iff $H$ es abelian, $K$ es abelian, y el semi-directa producto de forma explícita (la acción es trivial).

Al $H$ $K$ no abelian usted puede tener cosas bizarras como $H \rtimes K$ es (isomorfo a) un producto directo de la $H$$K$, aunque la acción no es trivial. Tome $H=K$ por ejemplo (no abelian de orden 6 para que sea agradable y clara). Me enteré de esto por $A_5 \rtimes A_5$, y fue recientemente recordó que era cierto para todos aquellos que no abelian grupos $H=K$.

Answer 2

Seguro. $H\rtimes_\theta K$ es abeliano si y solamente si $H$ y $K$ son abelianos y $\theta$ es el trivial homomorfismo.

Esto es bastante fácil de probar, así que debe intentar. A continuación es la solución si te quedas atascado.

Suficiencia es evidente. Por necesidad, si $\theta$ es no trivial, entonces algunos $k\in K$ asigna un $\operatorname{id}\ne \theta_k\in \operatorname{Aut}(H)$, que significa que el $\theta_k(h)\ne h$ $h\in H$. Así $hk=k\theta_k(h)\ne kh$, así que tenemos dos elementos que no conmuten.