¿Cómo encontrar la matriz de claves de un cifrado Hill 2x2?

Question

En la lengua inglesa, el dígrafo más común es TH, seguido de HE. En este ejemplo concreto, digamos que los dígrafos con mayor frecuencia son RH y NI. ¿Cómo puedo encontrar los valores a, b, c y d para la matriz de claves? \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}

Podemos dividir TH y HE en pares \begin{pmatrix}R\\H\end {pmatrix} \begin{pmatrix}N\\I\end{pmatrix}

Que, convertidos a sus valores enteros, equivalen a: \begin{pmatrix}19\\07\end {pmatrix} \begin{pmatrix}07\\04\end{pmatrix}
Si no me equivoco, puedo usar estos valores para resolver los valores de a, b, c y d. Desgraciadamente mi uso de la notación matricial es limitado y temo que atascaría la pantalla con mi pobre intento, así que me limitaré a poner el resultado de mi trabajo. Básicamente combiné la matriz clave de a, b, c, y d con los pares TH y HE para obtener:

TH: $(19a+7b)$ mod $26$ y $(19c + 7d)$ mod $26$

HE: $(7a+4b)$ mod $26$ y $(7c+4d)$ mod $26$

Asumiendo que este trabajo es correcto, creo que puedo simplemente establecer estos valores iguales a los valores de RH y NI y resolver para a, b, c, o d.

$19a + 7b = 17$ se utilizaría para encontrar el valor de R. Sin embargo, no estoy totalmente seguro de que esto sea correcto. Tampoco estoy del todo seguro de cómo procedería después de crear esta ecuación. ¿No tendría que encontrar la inversa en lugar de resolver la ecuación?

Answer 1

Usted asume que $TH \to RH$ y $HE \to NI$ bajo el cifrado de Hill.

O en notación matricial:

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}19\\7 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}17\\7 \end{bmatrix}$$

y

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}7\\4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}13\\8 \end{bmatrix}$$

o en una notación matricial:

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 19 & 7\\ 7 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 13\\ 7 & 8\end{bmatrix}$$

lo que nos permite encontrar la matriz de encriptación mediante

$$\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 17 & 13\\ 7 & 8\end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 19 & 7\\ 7 & 4\end{bmatrix}}^{-1}$$

El determinante de $\begin{bmatrix} 19 & 7\\ 7 & 4\end{bmatrix}$ es $19\cdot 4 - 7\cdot 7 = 1 \pmod{26}$ por lo que la inversa existe y es igual (usando $-7 = 19 \pmod{26}$ )

$$\begin{bmatrix} 4 & 19\\ 19 & 19\end{bmatrix}$$

Esto nos permite calcular la matriz de cifrado y, a continuación, la matriz de descifrado.

Alternativamente, como $\begin{bmatrix} 17 & 13\\ 7 & 8\end{bmatrix}$ también es invertible (determinante $19$ ) podemos encontrar la matriz de descifrado también de (usando $A = BC \to A^{-1} = C^{-1}B^{-1}$ etc.)

$${\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}}^{-1} = \begin{bmatrix} 19 & 7\\ 7 & 4\end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 17 & 13\\ 7 & 8\end{bmatrix}}^{-1}$$ también