Hay un elemento con orden $p$

Question

Dejemos que $p$ es un primo impar y $G$ es un grupo que tiene $2p$ elementos. Demostrar que existe al menos un elemento de orden $p$ .

Traté de mostrar en 2 partes como $G$ es cíclico y no cíclico, pero no pude demostrarlo para grupos no cíclicos. Creo que debo hacer algo diferente. ¿Podríais ayudarme de la manera más fácil, ya que sólo hemos aprendido teoremas y definiciones de los grupos cíclicos?

Answer 1

Déjalo, $p$ sea un número primo impar y $G$ sea un grupo de orden $2p$ . Entonces $G$ tiene un subgrupo de orden $p$ que sí es cíclico. En consecuencia, el subgrupo contiene un elemento de orden $p$ y también el grupo $G$ .